דרגה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 13:
העובדה שדרגת העמודות ודרגת השורות של כל מטריצה הן שוות מהווה חלק חשוב של המשפט היסודי של האלגברה הליניארית. להלן מוצגת הוכחה לטענה זו, התקפה מעל כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
תהי ''A'' מטריצה מסדר ''m × n'' (עם ''m'' שורות ו-''n'' עמודות). תהי ''r'' דרגת העמודות של ''A'' ויהיו הווקטורים ''c<sub>1</sub>'',...,''c<sub>r</sub>'' בסיס כל שהוא למרחב העמודות של ''A''. נפעיל Rank factorization על המטריצה ''A'': נייצג את וקטורי הבסיס למרחב העמודות של ''A'' בצורה סכמטית כמטריצה ''C'' מסדר ''m × r''. כל עמודה של ''A'' ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של ''r'' העמודות של ''C''. פירוש הדבר הוא שקיימת מטריצה ''R'' מסדר ''r × n'' כך ש-''A = CR''. בשפה של [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]], הצגנו את ההעתקה הליניארית מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math> (המיוצגת על ידי ''A'') כ[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של העתקה מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^r </math> עם העתקה מ-<math> \mathbb R ^r </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math>. המטריצה ''R'' היא המטריצה שבה העמודה ה-''i'' נוצרת מהמקדמים שמייצגים את העמודה ה-''i'' של ''A'' כצירוף ליניארי של ''r'' העמודות של ''C''. כעת, כל שורה ''j'' של ''A'' ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של ''r'' השורות של ''R'', עם מקדמים ששווים למקדמי השורה ה-''j'' של ''C''. לפיכך, השורות של ''R'' פורשות את מרחב
==משפטים הקשורים לדרגה==
|