הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציה מחזורית"

אין תקציר עריכה
מ (בוט החלפות: \1איברים)
 
==הגדרה==
פונקציה [[פונקציה ממשית|ממשית]] או [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]] <math>\ f</math> היא '''מחזורית''', אם קיים קבוע <math>\ T\neq 0</math> כך שלכל <math>\ x</math> (ממשי או מרוכב, בהתאמה), מתקיים <math>\,f(x) = f(x+T)</math>. כל קבוע <math>\ T</math> כזה נקרא '''מחזור''' של הפונקציה. אוסף המחזורים הוא [[תת חבורה]] של השדה (הממשי או המרוכב, בהתאמה). המקרה שבו חבורת המחזורים אינה [[קבוצה דיסקרטית|דיסקרטית]] הוא מקרה פתולוגי, המתאפשר רק כאשר הפונקציה קבועה, או אינה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]].
 
במקרה הממשי, אם חבורת המחזורים דיסקרטית אז היא [[חבורה ציקלית|ציקלית]], בעלת יוצר יחיד, שהוא המחזור בעל ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] החיובי הקטן ביותר. מספר זה הוא '''המחזור''' של הפונקציה, וכל מחזור אחר מהווה כפולה שלמה שלו. גם במקרה המרוכב ייתכן שחבורת המחזורים ציקלית, ואז משתמשים באותה טרמינולוגיה.
פונקציה [[פונקציה ממשית|ממשית]] או [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]] <math>\ f</math> היא '''מחזורית''', אם קיים קבוע <math>\ T\neq 0</math> כך שלכל <math>\ x</math> (ממשי או מרוכב, בהתאמה), מתקיים <math>\,f(x) = f(x+T)</math>. כל קבוע <math>\ T</math> כזה נקרא '''מחזור''' של הפונקציה. אוסף המחזורים הוא [[תת חבורה]] של השדה (הממשי או המרוכב, בהתאמה). המקרה שבו חבורת המחזורים אינה [[קבוצה דיסקרטית|דיסקרטית]] הוא מקרה פתולוגי, המתאפשר רק כאשר הפונקציה קבועה, או אינה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]].
 
במקרה הממשי, אם חבורת המחזורים דיסקרטית אז היא [[חבורה ציקלית|ציקלית]], בעלת יוצר יחיד, שהוא המחזור בעל ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] החיובי הקטן ביותר. מספר זה הוא '''המחזור''' של הפונקציה, וכל מחזור אחר מהווה כפולה שלמה שלו. גם במקרה המרוכב ייתכן שחבורת המחזורים ציקלית, ואז משתמשים באותה טרמינולוגיה.
 
במקרה המרוכב יכולה חבורת המחזורים להיות בעלת שני יוצרים (למשל, כאשר הפונקציה מקיימת את הזהות <math>\ f(z+1)=f(z+i)=f(z)</math>). פונקציות מרוכבות בעלות שני מחזורים נקראות [[פונקציה אליפטית|פונקציות אליפטיות]].
 
==דוגמאות==
* הדוגמאות המוכרות ביותר, ובמובן מסוים הטבעיות ביותר הן ה[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]]: <math>\ \sin(x),\cos(x),\tan(x)</math>, כאשר ל-<math>\ \sin(x),\cos(x)</math> מחזור של <math>\ 2\pi</math>, ול-<math>\ \tan(x)</math> מחזור של <math>\ \pi</math>.
* פונקציית ה[[אקספוננט]] <math>\,f(z) = e^z</math> היא [[פונקציה מרוכבת]] בעלת מחזור <math>\,2\pi i</math>. כפונקציה ממשית, פונקציית האקספוננט אינה מחזורית (היא [[פונקציה עולה|מונוטונית עולה]]).
* [[פונקציית דיריכלה]] היא מחזורית, משום שלכל [[מספר רציונלי]] <math>\ q</math> ולכל [[מספר ממשי]] <math>\ x</math> מתקיים ש-<math>\ x+q</math> הוא רציונלי אם ורק אם <math>\ x</math> הוא רציונלי, ולפיכך <math>\,D(x+q)=D(x)</math>. מכיוון שכל רציונלי <math>\ q</math> הוא מחזור של הפונקציה, הרי שאין לפונקציית דיריכלה מחזור מינימלי.
* [[פונקציה קבועה]] היא מחזורית, וכל מספר מהווה מחזור שלה.