תמורה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה: (123) ולא (132). |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
==דוגמה: מהי תמורה?==
נסתכל למשל על ה[[פונקציה]]
::::::::<math>\ \sigma =\begin{cases} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 1 \end{cases}</math>
זו היא הפונקציה המתאימה ל־1 את 2, ל־2 את 3 ול־3 את 1, ובכך מסדרת מחדש את הקבוצה {1,2,3}.
שורה 23:
משלוש התכונות לעיל עולה שאוסף כל התמורות על קבוצה <math>X</math> מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] עם הפעולה של [[הרכבת פונקציות|הרכבת תמורות]]. חבורה זו מסומנת <math>S_X</math> ונקראת [[החבורה הסימטרית]].
'''משפט:''' אם <math>\ X</math> [[קבוצה סופית]] בעלת <math>n</math> איברים אז
<math>|S_X|= n!</math>.
שורה 39:
קל להבין את סוגי התמורות השונות, אם נסתכל על הקבוצה <math>\{1,2, \ldots, n\}</math>. במצב ההתחלתי, כל איבר נמצא במקום המתאים לו (האיבר 2, למשל, נמצא במקום השני). כאשר אנו מתארים תמורה אנו בעצם אומרים לגבי כל איבר לאיזה מקום הוא עובר. למשל: "האיבר 3 עובר למקום 5" פירושו הוא שבסדר החדש (סידור המספרים בשורה אחרי ביצוע התמורה, כלומר - הפעלת הפונקציה על כל אחד מהם) המספר 3 יופיע במקום החמישי. בהמשך לא תמיד נציין "איבר" או "מקום" ונשתמש בביטויים כמו "a עובר ל־b" או "c מחליף את d" וכדומה.
===חילוף===
* תמורה זו מסומנת כ־(a b), והיא פשוט מחליפה בין האיברים a ו־b.
* לדוגמה: הפעלת החילוף (2 1) על הקבוצה {3 2 1} מחזירה {3 1 2}.
===מחזור===
שורה 46:
==פירוק למחזורים==
ניתן לפרק כל תמורה יחידה למחזורים זרים. לדוגמה, התמורה
: <math>\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5 \end{pmatrix} </math>
ניתנת לפירוק ל <math>\ \sigma = (132)(56)</math>. בפירוק לרוב משמיטים את המחזורים באורך אחד (בדוגמה זו זהו המחזור <math>(4)</math> ), כיוון שמחזור באורך אחד הוא למעשה תמורת ה[[פונקציית הזהות|זהות]].
שורה 68:
[[קובץ:15-puzzle-loyd.svg|ממוזער|שמאל|100px|[[חידת ה-15]]]]
[[קובץ:Rubiks cube scrambled.jpg|שמאל|ממוזער|100px|[[קובייה הונגרית]]]]
תמורות משחקות תפקיד גם ב[[שעשועי מתמטיקה|חידות ומשחקים]] רבים. משחקים לשחקן בודד כגון [[חידת ה-15]] וחידת [[קובייה הונגרית|הקובייה ההונגרית]] הם למעשה משחקי תמורות. לדוגמה בחידת ה-15 המספרים מ-1 עד 15 כתובים על לוחיות המסודרות במטריצה בגודל 4X4, כאשר אחת המשבצות נותרת ריקה. במשחק בכל מהלך ניתן להזיז אל תוך המשבצת הריקה את אחת הלוחיות הסמוכות אליה. מטרת המשחק היא לשנות את המיקום של הלוחיות בעלות המספרים 14 ו-15. את המשחק ניתן לראות כמשחק תמורות. כל מצב במשחק מהווה תמורה על 16 איברים (כולל המשבצת הריקה) וחוקי המשחק מתארים את הפעולות המותרות למעבר מתמורה אחת לאחרת. מכאן שהמצבים שניתן להגיע אליהם במשחק מהווים [[תורת החבורות|חבורה]], שהיא תת-חבורה של כל התמורות על 16 איברים. התרגום של החידה לשפה מתמטית תהיה: "האם למצב ההתחלתי ולמצב הסופי אותה זוגיות?", התשובה לכך שלילית: כלומר לא ניתן לפתור את המשחק.
גם [[קובייה הונגרית|הקובייה ההונגרית]], שהומצאה על ידי [[ארנו רוביק]] בשנת 1974 היא דוגמה למשחק תמורות, אם כי מורכב יותר.
שורה 75:
==ראו גם==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/תמורות|שם ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה}}
* [[תורת החבורות]]
*[[החבורה הסימטרית]]
| |||