הבדלים בין גרסאות בדף "שונות משותפת"

הוסרו 4 בתים ,  לפני שנתיים
אין תקציר עריכה
מ (הגהה)
ב[[תורת ההסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], ה'''שונות המשותפת''' ('''covariance''') היא מדד לקשר בין שני [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]]. השונות המשותפת חיובית כאשר המשתנים נוטים לסטות מהממוצע באותו כיוון (שניהם מעליו או ששניהם מתחתיו באותו [[מאורע]]), ושלילית כאשר הם משתנים בכיוונים מנוגדים זה לזה.
 
אם מנרמלים את השונות המשותפת באמצעות חלוקתה במכפלת [[סטיית תקן|סטיות התקן]] של המשתנים המעורבים, מתקבל מדד הנקרא "[[מקדם המתאם]]", שערכו בין 1 ל-1-. אם המקדם קרוב לערכים הקיצוניים, זהו אות לכך שהמשתנים קשורים זה בזה (קשר שעשוי להיות סיבתי, אך אינו בהכרח כזה). אפשר לראות במושג זה הכללה של ה[[שונות]], משום שהשונות המשותפת של משתנה מקרי עם עצמו, שווה לשונות שלו. השונות המשותפת של משתנים [[תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]] שווה לאפס, אך אם השונות המשותפת שווה לאפס, המשתנים אינם בהכרח בלתי תלויים, אלא רק [[מתאם פירסון|בלתי מתואמים]].
== הגדרה ==
 
נסמן ב-<math>\ \mu_X=\operatorname{E}(X), \mu_Y=\operatorname{E}(Y)</math> את ה[[תוחלת|תוחלות]] של המשתנים המקריים <math>\ X </math> ו-<math>\ Y </math>. השונות המשותפת של השניים מוגדרת להיות:
:<math>\ \operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{E}(XY)-\mu_X\mu_Y
= \operatorname{E}((X-\mu_X)(Y-\mu_Y))
</math>.
 
מ[[אי-שוויון קושי-שוורץ]] נובע שתמיד <math>|\operatorname{cov}(X,Y)|^2\leq V(X)V(Y) </math>, כאשר <math>V(X)</math> היא ה[[שונות]] של המשתנה המקרי X (וכן ל-Y). בפרט, השונות המשותפת קיימת (וסופית) כל אימת שלמשתנים X ו-Y יש שונות (סופית). מאותה סיבה, ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של [[מתאם פירסון#אנלוגיה מתמטית הסתברותית|מקדם המתאם]] <math>\ \rho(X,Y)=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}</math> אינו עולה על 1.
== תכונות ==
 
למשתנים ששונותם המשותפת אפס, קוראים '''משתנים בלתי מתואמים'''. כל שני משתנים בלתי תלויים הם בלתי מתואמים, אבל ההפך אינו נכון.
 
השונות המשותפת היא [[תבנית ביליניארית]], כלומר, <math>\operatorname{cov}(aX+bY,Z) = a\cdot \operatorname{cov}(X,Z)+b\cdot \operatorname{cov}(Y,Z)</math>, וכן ברכיב הימני. זוהי תבנית סימטרית, שהיא [[תבנית חיובית לחלוטין|חיובית לחלוטין]] על מרחב המשתנים המקריים (כאשר מזהים משתנים שההפרש ביניהם קבוע [[כמעט תמיד|בהסתברות 1]]), מכיוון שלמשתנה שאינו קבוע בהסתברות 1, יש שונות חיובית. מכאן שהשונות המשותפת מגדירה [[מכפלה פנימית]] על מרחב המשתנים המקריים עד-כדי הזיהוי הנזכר לעיל.