קבוצת החזקה – הבדלי גרסאות

\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}</math>. במסגרת [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מ[[אקסיומת קבוצת החזקה]].

 

 

*ניתן להוכיח כי [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] קבוצת החזקה של [[קבוצה סופית]] כלשהי <math>\ A</math> שווה ל- <math>\ 2^{|A|}</math> (שתיים ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] עוצמת <math>\ A</math>), ובניסוח מתמטי: <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|=2^{|A|}</math>. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא [[אינסוף|אינסופי]], נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של <math>\ A</math> בסימון <math>\ 2^{|A|}</math>.

*קבוצת החזקה של <math>\ A</math> [[איזומורפיזם|איזומורפית]] לקבוצת ה[[פונקציה מציינת|פונקציות המציינות]]: <math>\ \lbrace 0,1 \rbrace^A = \lbrace1_x: A \to \lbrace 0,1 \rbrace|x \sube A\rbrace</math> ולכן הסימון <math>\ 2^{|A|}</math> לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם <math>\ 2^{|A|}=|\lbrace 0,1 \rbrace^A|</math>)