הבדלים בין גרסאות בדף "שדה המספרים המרוכבים"

 
== בנייה פורמלית ==
 
את שדה המספרים המרוכבים אפשר לבנות באופן פורמלי כאוסף ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>\ \mathbb{R}^2</math> של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], עם פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] המוגדרות לפי <math>\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)</math> ו- <math>\ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)</math>. המבנה המתקבל הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ש[[איבר יחידה|איבר האפס]] שלו הוא <math>\ (0,0)</math>, ואיבר היחידה הוא <math>\ (1,0)</math>. לכל מספר <math>\ (x,y)</math> יש נגדי, <math>\ (-x,-y)</math>, ואם המספר שונה מאפס יש לו [[איבר הופכי]], <math>\left( \frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2} \right)</math>.{{ש}}
 
הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, האיבר <math>\ i = (0,1)</math> של השדה החדש מקיים <math>\ i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1</math>, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון [[זרם חשמלי|זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף).
פעולת החיבור מוגדרת כך: <math>\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)</math>
 
פעולת הכפל מוגדרת כך:<math>\ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)</math>
 
המבנה המתקבל הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ש[[איבר יחידה|איבר האפס]] שלו הוא <math>\ (0,0)</math>, ואיבר היחידה הוא <math>\ (1,0)</math>.
 
לכל מספר <math>\ (x,y)</math> יש נגדי, <math>\ (-x,-y)</math>, ואם המספר שונה מאפס יש לו [[איבר הופכי]], <math>\left( \frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2} \right)</math>.{{ש}}הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, האיבר <math>\ i = (0,1)</math> של השדה החדש מקיים <math>\ i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1</math>, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות <math>i</math> משמעות אחרת, כגון [[זרם חשמלי|זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף).
 
== תכונות בסיסיות ==