דרגה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 11:
== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==
העובדה שדרגת העמודות ודרגת השורות של כל מטריצה הן שוות מהווה חלק חשוב של [[המשפט היסודי של האלגברה]] הליניארית. להלן מוצגת הוכחה לטענה זו, התקפה מעל כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
תהי ''A'' מטריצה מסדר ''m × n'' (עם ''m'' שורות ו-''n'' עמודות). תהי ''r'' דרגת העמודות של ''A'' ויהיו הווקטורים ''c<sub>1</sub>'',...,''c<sub>r</sub>'' בסיס כל שהוא למרחב העמודות של ''A''. נפעיל Rank factorization על המטריצה ''A'': נייצג את וקטורי הבסיס למרחב העמודות של ''A'' בצורה סכמטית כמטריצה ''C'' מסדר ''m × r''. כל עמודה של ''A'' ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של ''r'' העמודות של ''C''. פירוש הדבר הוא שקיימת מטריצה ''R'' מסדר ''r × n'' כך ש-''A = CR''. בשפה של [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]], הצגנו את ההעתקה הליניארית מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math> (המיוצגת על ידי ''A'') כ[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של העתקה מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^r </math> עם העתקה מ-<math> \mathbb R ^r </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math>. המטריצה ''R'' היא המטריצה שבה העמודה ה-''i'' נוצרת מהמקדמים שמייצגים את העמודה ה-''i'' של ''A'' כצירוף ליניארי של ''r'' העמודות של ''C''. כעת, כל שורה ''j'' של ''A'' ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של ''r'' השורות של ''R'', עם מקדמים ששווים למקדמי השורה ה-''j'' של ''C''. לפיכך, השורות של ''R'' פורשות את מרחב השורות של ''A'', ולפי [[למת ההחלפה של שטייניץ]], דרגת השורות של ''A'' לא יכולה לעלות על ''r''. זה מוכיח שדרגת השורות של ''A'' קטנה או שווה לדרגת העמודות. את תוצאה זו ניתן ליישם לכל מטריצה, כך שנפעיל אותה על המטריצה המשוחלפת של ''A''. כיוון שדרגת השורות של המטריצה המשוחלפת של ''A'' שווה לדרגת העמודות של ''A'' ודרגת העמודות של המטריצה המשוחלפת של ''A'' שווה לדרגת השורות של ''A'', ניתן להקיש גם את האי-שוויון ההפוך ומשניהם יחד את השוויון של דרגת השורות ודרגת העמודות של ''A''.
| |||