עקרון המקסימום (תורת הפוטנציאל) – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], במיוחד ב[[תורת הפוטנציאל]], '''עקרון המקסימום''' הוא תכונה של [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|משוואות דיפרנציאליות חלקיות]] מסוימות, ספציפית מהטיפוס האליפטי והפרבולי. באופן כללי, העקרון טוען כי ה[[מקסימום]] של פונקציית הפתרון ב[[תחום הגדרה|תחום]] נתון מושג על השפה של התחום. באופן ספציפי, עקרון המקסימום ''החזק'' גורס כי אם המקסימום של פונקציה מושג בפנים התחום, אז היא חייבת להיות קבועה בתחום. עקרון המקסימום ''החלש'' טוען, לעומת זאת, שאמנם ערך המקסימום נמצא על שפת התחום, אך הוא עשוי להופיע מחדש בפנים התחום פעמים נוספות.

לעקרון יש השלכות פיזיקליות מעניינות, שכן [[פוטנציאל חשמלי|הפוטנציאל החשמלי]] בריק מקיים את משוואת לפלס, ולכן נובע ממנו כי לא ניתן ללכוד חלקיק [[מטען חשמלי|טעון]] ב[[בור פוטנציאל|שיווי משקל יציב]] על ידי שדות [[אלקטרוסטטיקה|אלקטרוסטטיים]] (שדות נייחים), אם כי ניתן ללכוד אותו באמצעות שדות אלקטרודינמיים (ראו גם [[מלכודת פאול]]).

''עקרון המקסימום החלש'' בעבור פונקציות הרמוניות הוא מסקנה פשוטה מן ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] הקשור בפתרון [[משוואת לפלס]]. המרכיב המרכזי בהוכחה הוא העובדה שלפי ההגדרה של פונקציות הרמוניות, ה[[לפלסיאן]] של ''f'' הוא אפס. לפיכך, עבור פונקציות המוגדרות על תחום [[מישור (גאומטריה)|מישור]]י, כל [[נקודה קריטית]] של ''f'' היא בהכרח [[נקודת אוכף]] (משטח קמור-קעור); אחרת לא ייתכן שסכום הנגזרות השניות של ''f'' יהיה אפס (שתי הנגזרות השניות חייבות להיות בעלות סימן מנוגד). עבור פונקציות המוגדרות על מרחב מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] גבוה יותר מקבלים שלפחות שתי נגזרות שניות (לפי שתי קואורדינטות שונות) הן בעלות סימן מנוגד.