יחס שקילות – הבדלי גרסאות

נוספו 101 בתים ,  לפני 3 שנים
מ
ניסוח
(לא אומרים סימטריות, אומרים סימטריה, הגהה, ניסוח)
מ (ניסוח)
==הגדרה פורמלית==
 
[[יחס|יחס בינארי]] R מעל קבוצה A הוא תת-קבוצה של [[מכפלה קרטזית|המכפלה הקרטזית]] <math>A \times A</math>., בסימניםכלומר: <math>\ \mathcal{R} \subseteq A \times A</math>. כלומר: הוא קבוצה של [[זוג סדור|זוגות סדורים]] כך שכל איבר בזוג שייך ל-A. אם <math>\ (a,b) \in \mathcal{R}</math> אזי מקובל לסמן <math>\ a\mathcal{R}b</math>.
 
[[יחס]] R מעל קבוצה A נקרא '''יחס שקילות''' אם הוא מקיים את התכונות הבאות:
# [[יחס רפלקסיבי|'''רפלקסיביות''']]: כל איבר עומד ביחס עם עצמו, כלומר <math>\ a\mathcal{R}a</math> לכל <math>\ a\isin A</math>. לדוגמה, תכונה זו מתקיימת תמיד עבור היחס "שווה ל", כי כל איבר תמיד שווה לעצמו.
# [[יחס סימטרי|סימטריה'''סימטריות''']]: אם a עומד ביחס עם b אזי גם b עומד ביחס עם a, כלומר: <math>\ a\mathcal{R}b\Leftrightarrow b\mathcal{R}a</math>. לדוגמה: יחס האחווההיחס "אח של" הוא סימטרי כי אם aיעקב אח של bעשו אז גם bעשו אח של aיעקב. לעומת זאת, יחס ההורות "a אב של b" איננו סימטרי כי אם יצחק אב של יעקב, יעקב אינו אב של יצחק.
# '''[[טרנזיטיביות]]''': אם a נמצא ביחס ל-b ו-b נמצא באותו היחס ל-c אזי גם בין a ל-c מתקיים אותו היחס, ובניסוח פורמלי: <math>\ a\mathcal{R}b,b\mathcal{R}c\Rightarrow a\mathcal{R}c</math>. למשל, אם לסוס a צבע זהה לזה של סוס b, ול- b צבע זהה לשל c, אז ל- a אותו צבע כמו ל- c.
 
סימטריה וטרנזיטיביות אינן מספיקות כדי להכריח יחס להיות רפלקסיבי. לדוגמה, היחס הריק (שלא מתקיים לאף זוג איברים) על קבוצה לא ריקה הוא סימטרי וטרנזיטיבי באופן ריק, אך אינו רפלקסיבי.