עקרון המקסימום (תורת הפוטנציאל) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←ראו גם: רווח בקטגוריה תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
מ העברת בינוויקי לוויקינתונים |
||
שורה 10:
תהי ''f'' פונקציה הרמונית המוגדרת על [[תת-קבוצה]] [[מרחב קשיר|קשירה]] [[קבוצה פתוחה|פתוחה]] ''D'' של [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] '''R'''<sup>''n''</sup>. אם <math>x_0</math> היא נקודה ב-''D'' כך ש-:
:<math>f(x_0)\ge f(x) </math>
בעבור כל הנקודות ''x'' ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבת הנקודה]] <math>x_0</math>, אז הפונקציה ''f'' היא קבועה על ''D''.
שורה 16:
== היוריסטיקה לנכונות הטענה ==
[[קובץ:Maximum modulus principle.png|ממוזער|200px|הגרף של פונקציה הרמונית המוגדרת על עיגול היחידה עשוי להיראות למשל ככה. ניתן לראות שמשטח הפונקציה הוא "דמוי אוכף" בכל מקום.]]
''עקרון המקסימום החלש'' בעבור פונקציות הרמוניות הוא מסקנה פשוטה מן ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] הקשור בפתרון [[משוואת לפלס]]. המרכיב המרכזי בהוכחה הוא העובדה שלפי ההגדרה של פונקציות הרמוניות, ה[[לפלסיאן]] של ''f'' הוא אפס. לפיכך, עבור פונקציות המוגדרות על תחום [[מישור (גאומטריה)|מישור]]י, כל [[נקודה קריטית]] של ''f'' היא בהכרח [[נקודת אוכף]] (משטח קמור-קעור); אחרת לא ייתכן שסכום הנגזרות השניות של ''f'' יהיה אפס (שתי הנגזרות השניות חייבות להיות בעלות סימן מנוגד). עבור פונקציות המוגדרות על מרחב מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] גבוה יותר מקבלים שלפחות שתי נגזרות שניות (לפי שתי קואורדינטות שונות) הן בעלות סימן מנוגד.
''עקרון המקסימום החזק'' נשען על למת הופף, וההיוריסטיקה לו מסובכת יותר.
== ראו גם ==
* [[עקרון המקסימום]] ב[[אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:תורת הפוטנציאל]]
| |||