|
ב[[אלגברה]], '''אידיאלאידאל''' הוא תת-קבוצה של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]], המקיימת תנאים מסוימים. תנאים אלה מבטיחים שאפשר יהיה לבנות [[חוג מנה|חוגי מנה]], מהם ניתן לשאוב מידע על החוג המקורי. תפקידם של האידיאליםהאידאלים ב[[תורת החוגים]] דומה לזה של [[תת חבורה נורמלית|תת החבורות הנורמליות]] ב[[תורת החבורות]].
המונח אידיאלאידאל מתייחס בדרך כלל ל'''אידיאלאידאל דו צדדי''', שהוא תת-קבוצה של החוג הסגורה לחיבור וחיסור, וכן לכפל מימין או משמאל באיבר של החוג. דרישות אלה שקולות לכך שפעולות החיבור והכפל על קבוצת הקוסטים מוגדרות היטב, באופן המשרה מבנה של [[חוג מנה]].
בחוגים לא קומוטטיביים, מגדירים באופן דומה גם '''אידיאלאידאל ימני''' ו'''אידיאלאידאל שמאלי''', הנקראים אידיאליםאידאלים חד-צדדיים. אידיאלאידאל חד-צדדי הוא [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] (ימני או שמאלי) מעל החוג.
== הגדרה פורמלית ==
יהא <math>\ R</math> חוג. תת-קבוצה ממש <math>\ I \subsetneqq R</math> שעבורה <math>\ (I,+)</math> היא תת-חבורה של <math>\ (R,+)</math> נקראת '''אידיאלאידאל שמאלי''' אם לכל <math>\ r\isin R</math> ולכל <math>\ i\isin I</math> מתקיים <math>\ r\cdot i\isin I</math>; ו'''אידיאלאידאל ימני''' אם לכל <math>\ r\isin R</math> ולכל <math>\ i\isin I</math> מתקיים <math>\ i\cdot r\isin I</math>. אידיאלאידאל שמאלי וימני נקרא '''אידיאלאידאל דו-צדדי''' או סתם '''אידיאלאידאל'''.
אידיאלאידאל אמיתי (בחוג עם יחידה) איננו יכול להכיל את איבר היחידה 1 של החוג, משום שאז ההגדרה תאלץ אותו להכיל את החוג כולו. מכאן נובע שאידיאלשאידאל שמאלי אינו יכול להכיל איברים הפיכים משמאל, בעוד שאידיאלשאידאל ימני אינו יכול להכיל איברים הפיכים מימין.
בחוג חילופי, כל אידיאלאידאל שמאלי או ימני הוא אידיאלאידאל. בחוג לא חילופי יש הבדלים רבים בין שתי התכונות. בדרך כלל, מועיל לחשוב על אידיאלאידאל שמאלי כקבוצה "גדולה", בעוד שאידיאלשאידאל (דו-צדדי) הוא קבוצה "קטנה". הסיבה היא שאידיאליםשאידאלים דו-צדדיים מנועים מלכלול הרבה יותר איברים מאשר האידיאליםהאידאלים החד-צדדיים.
== דוגמאות ==
=== אידיאלאידאל נוצר ===
'''אידיאלאידאל נוצר''' <math>\langle X\rangle </math> של חוג R על ידי קבוצה X המוכלת ב-R הוא האידיאלהאידאל הקטן ביותר של R המכיל את X, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה
<math>\ \langle X\rangle = \{\sum_{i=1}^{n}r_{i}x_{i}{r'}_{i} | \ r_{i},{r'}_{i}\in R,\ x_{i}\in X\}</math>
.
בדומה, '''אידיאלאידאל נוצר שמאלי''' RX של חוג R על ידי קבוצה X המוכלת ב-R הוא האידיאלהאידאל השמאלי הקטן ביותר של R המכיל את X, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה
<math>\ RX = \{\sum_{i=1}^{n}r_{i}x_{i} | \ r_{i}\in R,\ x_{i}\in X\}</math>
.
ו'''אידיאלאידאל נוצר ימני''' XR של חוג R על ידי קבוצה X המוכלת ב-R הוא האידיאלהאידאל הימני הקטן ביותר של R המכיל את X, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה
<math>\ XR = \{\sum_{i=1}^{n}x_{i}r_{i} | \ r_{i}\in R,\ x_{i}\in X\}</math>
.
מוסכם כי האידיאלהאידאל (שמאלי, ימני ודו-צדדי) הנוצר על ידי קבוצה ריקה הוא האידיאלהאידאל המכיל את אפס בלבד.
=== אידיאלאידאל ראשי ===
אידיאלאידאל הנוצר על ידי איבר אחד נקרא '''אידיאלאידאל ראשי'''. לאידיאללאידאל שמאלי ראשי יש הצורה <math>\ Ra=\{ra | r\in R\}</math>, ולאידיאלולאידאל ימני ראשי הצורה הדואלית, <math>\ aR=\{ar | r\in R\}</math>. האידיאלהאידאל (הדו-צדדי) הנוצר על ידי <math>\,a</math> הוא קבוצה גדולה בהרבה: <math>\ RaR = \{r_1 a r_1'+\dots r_n a r_n'\}</math>, הכוללת את כל המכפלות <math>\ rar'</math> וכל הסכומים שלהן. כל אידיאלאידאל הוא סכום (לאו דווקא סופי) של אידיאליםאידאלים כאלה.
[[תחום שלמות]] שבו כל האידיאליםהאידאלים ראשיים נקרא [[תחום ראשי]]. לדוגמה, ב[[חוג המספרים השלמים]], הקבוצה <math>\ 3\mathbb{Z}</math>, קבוצת כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש, היא אידיאלאידאל ראשי. קל לוודא שמדובר באידיאלבאידאל. (כיוון שסכום שתי כפולות של שלוש הוא כפולה של שלוש, מספר נגדי לכפולה של שלוש הוא כפולה של שלוש ומכפלת מספר המתחלק בשלוש בכל מספר שלם אחר תתחלק גם היא בשלוש). חוג המספרים השלמים הוא חוג ראשי.
=== [[הומומורפיזם (אלגברה)#תמונה וגרעין|גרעין של הומומורפיזם]] ===
לכל [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] <math>\ \varphi :R\rarr S</math> בין שני חוגים <math>\ R,S</math>, הגרעין <math>\ \mbox{Ker}(\varphi) = \{x \in R : \varphi(x)=0\}</math> הוא אידיאלאידאל דו-צדדי של R.
==הגדרות ומשפטים הנוגעים לאידיאליםלאידאלים==
ישנם כמה סוגים חשובים במיוחד של אידיאליםאידאלים, המוגדרים על-פי תכונות של חוג המנה. [[אידיאלאידאל ראשוני]] הוא אידיאלאידאל P של החוג, שעבורו החוג <math>\ R/P</math> הוא [[חוג ראשוני]]. אפשר לנסח תכונה זו גם כך: לכל שני אידיאליםאידאלים A,B, אם המכפלה AB מוכלת ב- P, אז אחד מן האידיאליםהאידאלים מוכרח להיות מוכל ב- P. בחוג חילופי, אידיאלאידאל הוא ראשוני אם ורק אם אינו יכול להכיל מכפלה ab של איברים, בלי להכיל אחד מן האיברים.
'''דוגמה''': ב[[חוג המספרים השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math>, כל אידיאלאידאל הוא מהצורה <math>\ \mathbb{Z}n</math>. אידיאלאידאל כזה הוא ראשוני אם ורק אם המספר n הוא [[מספר ראשוני]], או אפס. אכן, אם מספר ראשוני p מחלק מכפלה ab של מספרים שלמים, אז הוא חייב לחלק אחד מהם.
'''אידיאלאידאל מקסימלי''' הוא אידיאלאידאל שאינו מוכל באידיאלבאידאל גדול יותר, ולכן הוא [[יחס סדר|מקסימלי]] עבור יחס ההכלה. ניתן להוכיח באמצעות [[הלמה של צורן]] שבכל חוג עם יחידה, כל אידיאלאידאל מוכל באידיאלבאידאל מקסימלי. כל אידיאלאידאל מקסימלי הוא ראשוני, אבל ההפך אינו נכון (לדוגמה, אידיאלאידאל האפס של חוג השלמים הוא ראשוני ואינו מקסימלי). חוג שמכיל אידיאלאידאל מקסימלי יחיד נקרא [[חוג מקומי]].
בניסוח שקול, M הוא אידיאלאידאל מקסימלי אם ורק אם חוג המנה <math>\ R/M</math> הוא [[חוג פשוט]]. (כלומר, חוג שאין בו אידיאליםאידאלים לא טריוויאליים) מכאן שלכל חוג קיימים חוגי מנה פשוטים; תכונה זו הופכת את החוגים הפשוטים לאבני הבניין של תורת החוגים. כל חוג חילופי פשוט הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
'''אידיאלאידאל מינימלי''' הוא אידיאלאידאל שאינו מכיל אף אידיאלאידאל פרט לאפס. למרות שלכאורה מדובר בתכונות סימטריות, אידיאליםאידאלים מינימליים הם בעלי תכונות שונות לחלוטין מאלו של אידיאליםאידאלים מקסימליים. בראש וראשונה, אידיאליםאידאלים כאלה לא תמיד קיימים (למשל, בחוג השלמים). כל אידיאלאידאל מינימלי הוא ראשי, אבל ההפך אינו נכון.
{{אלגברה מופשטת}}
[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:תורת החוגים]]
{{ללא בוט|94}}
| 