גאומטריה אוקלידית – הבדלי גרסאות

#אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (השקולה לטענה: דרך נקודה כלשהי שאיננה על ישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.)

ההנחה החמישית שקולה לטענה כי דרך נקודה שמחוץ לישר עובר מקביל אחד ויחיד, המכונה "אקסיומת המקבילים". בניגוד לשאר ההנחות והאקסיומות, הנראות פשוטות ומובנות מאליהן, אקסיומת המקבילים נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה לא מובנתפחות מאליהטבעית, והם ניסו למצוא דרך להוכיח אותה באמצעותמשאר ההנחות שלפניה. אולםרק במאה ה-19 הוכח שהיא בלתי ניתנת להוכחה, על ידי יצירת [[גאומטריה היפרבולית|הגאומטריה ההיפרבולית]] שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא [[גאומטריה לא-אוקלידית]]., והגאומטריהבניגוד שהייתהל"גאומטריה עדאוקלידית" כהשבה היחידה קיבלהמניחים את השםכל אוקלידיתחמש ההנחות.