אלגברת קיילי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 4:
כפי שאלגברת קווטרניונים מוגדרת על-פי שני קבועים מעל שדה הבסיס, אלגברת קיילי מוגדרת על-פי שלושה קבועים: האלגברה <math>\ (Q,\gamma)=(\alpha,\beta,\gamma)</math> היא זו המתקבלת בבניית קיילי-דיקסון מאלגברת הקווטרניונים <math>\ Q=(\alpha,\beta) = F[x,y|x^2=\alpha,y^2=\beta,yx=-xy]</math> (ההצגה - בהנחה שהמאפיין שונה מ-2) על ידי סיפוח איבר z המקיים <math>\ z^2 = \gamma</math>.
מעל כל שדה, יש '''אלגברת קיילי מפוצלת''' אחת, וכל שאר אלגבראות קיילי הן [[אלגברה לא אסוציאטיבית#אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק|אלגבראות עם חילוק]].
=== אלגברת קיילי המפוצלת ===
את אלגברת קיילי המפוצלת אפשר להציג באמצעות '''וקטורי צורן''', <math>\ \left(\begin{array}{cc}a & \vec{u} \\ \vec{v} & b \end{array}\right)</math>, עם פעולת החיבור הטבעית ופעולת כפל המשתמשת ב[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]].
אם יש באלגברת קיילי [[אידמפוטנט]], אז היא מפוצלת, ושווה ל- <math>\ C = Q[z]</math> כאשר Q אלגברת קווטרניונים כלשהי ו- <math>\ z^2=1</math>. במקרה זה,
<math>\ e = \frac{1}{2}(z+1)</math> אידמפוטנט, וביחס אליו המרכיבים ב[[פירוק פירס]] הם <math>\ C_{00} = F(z-1), C_{11} = F(z+1), C_{01} = (z-1)Q_0, C_{10} = (z+1)Q_0</math>, כאשר <math>\ Q_0</math> הוא מרחב האיברים בעלי עקבה 0 ב-Q.
| |||