הישר הממשי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←גודל: מקומה של הפסקה הזאת הוא בערך האלכסון של קנטור |
מ שוחזר מעריכות של 37.26.146.192 (שיחה) לעריכה האחרונה של 141.226.218.30 |
||
שורה 5:
שדה המספרים הממשיים הוא גם מרחב וקטורי מעל [[שדה המספרים הרציונליים]], מממד אינסופי.
==גודל==
בישר הממשי יש [[עוצמת הרצף|<math>\!\ \aleph</math>]] איברים, כלומר קבוצת הממשיים אינה [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]].
ההוכחה היא כדלקמן:
[[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קבוצת הממשיים [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]], כלומר נוכל לרשום ברשימה אינסופית את קבוצת כל הממשיים בין 0 ל 1, נקרא לסדרה זו <math>R_n</math>.{{ש}}נותר להוכיח שקיימים מספרים ממשיים שלא שייכים לסדרה.{{ש}}בונים מספר כך: הספרה הראשונה ב[[השיטה העשרונית|פיתוח העשרוני]] של המספר שלנו תהיה ספרה שהיא לא הספרה הראשונה בפיתוח העשרוני של <math>R_1</math>, הספרה השנייה בפיתוח העשרוני תהיה ספרה שאיננה הספרה השנייה בפיתוח העשרוני של <math>R_2</math>, וממשיכים כך בצורה [[אינדוקציה מתמטית|אינדוקטיבית]].{{ש}}אנו יודעים כי המספר הסופי לא נמצא בסדרה, מכיוון שלמספר שלנו יש ספרה שונה במקום ה <math>n</math>-י לכל <math>R_n</math>.
== טופולוגיה בישר הממשי ==
| |||