הבדלים בין גרסאות בדף "משפט האינטגרל של קושי"

(ניסיון) איחוד שני ערכים על אותו נושא.
מ (רובוט מוסיף: cs:Cauchyova věta)
((ניסיון) איחוד שני ערכים על אותו נושא.)
==ניסוח פורמלי==
 
יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> [[תחום קושי]] כך ש-<math>\ \partial U</math> הוא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות וכן תהי <math>\ f(z):\bar{U}\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה רציפה על <math>\ \partial U</math> והולומורפית ב-<math>\ U</math> אזי <math>\oint_{\partial U} f(z)\,dz = 0 </math>, כאשר הכוונה היא כי האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.
 
באופן תמציתי יותר: תהי <math>\ f</math> הולומורפית ב- <math>\ D</math> ו- <math>\ \Delta</math> משולש המוכל עם פנימו ב- <math>\ D</math>. אז <math>\ \oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz = 0</math>
 
== הוכחה ==
 
[[תמונה:triangle-cauchy.jpg|left|thumb|250px|כיתוב תמונה]]
 
תחילה, נניח <math>\ \left| \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz \right| = S > 0</math>
 
עכשיו, <math>\ \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^4 \oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz </math>
 
<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz\right| \le \sum_{k=1}^4 \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz \right| </math>
 
 
לכן <math>\ S \le\sum_{k=1}^4\left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| </math>
ויש <math>\ 1\le k_0\le 4</math> כך ש- <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4}</math>
 
נסמן <math>\ \Delta_{k_0}^{(1)}=\Delta_1</math>. נמשיך כך ונקבל <math>\ \Delta_0 \supset \Delta_1 \supset \Delta_2 \supset ... \supset \Delta_n</math> , <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4^n}</math>
 
לפי למת קנטור, <math>\ \bigcap_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \left\{z_0\right\}</math>.
 
<math>\ f</math> אנליטית ב- <math>\ z_0</math> ולכן:
 
<math>\ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)</math>
 
<math>\ \lim_{z\rightarrow z_0}\varepsilon(z)= 0</math>
 
נביט באורכי המסילות:
<math>\ l(\Delta_0)=l\ ,\ l(\Delta_1)=\frac{l}{2}\ ,\ ... \ l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n} </math>
 
עבור <math>\ z \in \partial \Delta_n</math> , <math>\ \left| z-z_0\right|<l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n}</math>
 
<math>\ \frac{S}{4^n}\le\left|\oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz \right| = \left| \oint_{\partial \Delta_n}\big[f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\big]\, dz\right| = (*) </math>
 
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: <math>\ \ (zf(z_0))'=f(z_0)\ ,\ \left(\frac{f'(z_0)(z-z_0)^2}{2}\right)'=f'(z_0)(z-z_0)\ </math> ניתן לראות כי יש להם פונקציה קדומה שאנליטית בכל <math>\ \mathbb{C}</math>, בפרט ב- <math>\ D</math> ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי [[משפט אינטגרל קושי]]. נמשיך:
 
<math>\ (*)=\left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|</math>
 
עכשיו ניתן להוכיח כי אם <math>\ \gamma</math> מסילה חלקה למקוטעין ו-<math>\ f</math> רציפה על <math>\ \gamma</math> אז <math>\ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma )</math> כאשר <math>\ M=max\left|f(z)\right|</math> על <math>\ \gamma</math> ו- <math>\ l(\gamma)</math> הוא האורך של <math>\ \gamma</math>. לכן:
 
<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>
 
מכאן נובע: <math>\ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>
 
<math>\ S\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2</math>
 
אבל <math>\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0</math> וזו סתירה להנחה, כלומר <math>\ S=0</math> ולכן <math>\ \oint_Tf(z)\, dz = 0</math>.
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:משפטים מתמטיים|קושי]]