חוג אוקלידי – הבדלי גרסאות

'''משפט'''. כל חוג אוקלידי D הוא [[תחום אידאלים ראשיים|ראשי]] (כלומר, כל [[אידאל (אלגברה)|אידאל]] שלו הוא מן הצורה <math>\ Da=\{ba: b\in D\}</math>).

'''הוכחה'''. אם I אידאל שאינו אפס, אז קיים בו איבר a שדרגתו הקטנה ביותר מבין כל אברי I (כמובן, a אינו האיבר היחיד בעל תכונה זו). מיד נובע ש- <math>\ Da\subseteq I</math>. נניח שקיים ב- I איבר, למשל c, שאיננו מתחלק ב- a; חילוק עם שארית יתן <math>\ c=qa+r</math> כאשר <math>\ d(r)<d(a)</math>. אולם <math>\ r=c-qa\in I</math> הוא איבר של האידאל, וזה סותר את בחירת a כאיבר בעל דרגה מינימלית שם.<br />

 

== אוקלידיות ב[[תורת המספרים האלגברית]] ==