חוק המספרים הגדולים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←גרסה מוכללת: תיקון טעות תגיות: לבדיקה נוספת עריכה חזותית |
|||
שורה 19:
ראשית נוכיח כי יש התכנסות של הממוצע אל התוחלת ב'''התפלגות'''. ידוע כי טענה זו שקולה לכך שיש התכנסות של [[פונקציה אופיינית (הסתברות)|הפונקציה האופיינית]]: <math>\varphi_{\bar{X}_n} \to \varphi_{\mu}</math>. בנוסף, ידוע ש-<math>\varphi_{X_i}(t)=1+i t \mu +o(t), t \to 0</math>, ולכן:
<center>
<math>\varphi_{\bar{X}_n}(t)= E[e^{it \bar{X}_n}]=E[e^{\frac{it}{n}(X_1+\dots+X_n)}]=\prod_{j=1}^{n}{E[e^{\frac{it}{n} X_j}]}=(\varphi_{X_1}(\frac{t}{n}))^n=(1+\frac{it \mu}{n}+o(\frac{t}{n}))^n=e^{n \ln{(1+\frac{it \mu}{n}+o(\frac{t}{n})}}
</center>
וזו אכן הפונקציה האופיינית של המ"מ הקבוע <math>\mu</math>.
| |||