משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 26:
=== בניה ישירה של ההתאמה ===
נחליף את הקבוצה B בתמונה שלה <math>\ g(B) \subseteq A</math>, שהיא בעלת אותה עוצמה משום ש-g חד-חד-ערכית.
כעת אפשר להניח ש-<math>\ B \subseteq A</math> ונתונה פונקציה חד-חד-ערכית <math>\ f : A \rightarrow B</math>; עלינו לבנות פונקציה כזו שהיא חד-חד-ערכית ועל. נסמן ב-<math>\ f^n</math> את ההרכבה של f על עצמה n פעמים (כאשר <math>\ f^0</math> היא פונקציית הזהות). נאמר שאיבר <math>\ x\in A</math> הוא מ'''סוג ראשון''' אם קיימים <math>\ a \in A \setminus B </math> ו-<math>\ n \geq 0</math> כך ש-<math>\ x = f^n(a)</math>, ומ'''סוג שני''' אחרת. נגדיר פונקציה <math>\ h : A \rightarrow B</math> באופן הבא: <math>\ h(x) = f(x) </math> אם <math>\ x</math> מסוג ראשון, ו-<math>\ h(x) = x </math> אחרת. כעת נוכיח כמה טענות קלות:
# h מוגדרת לתוך B. אכן, כל איבר של <math>\ A \setminus B</math> הוא מסוג ראשון, ולכן <math>\ h(A) \subseteq f(A \setminus B) \cup B = B</math>.
| |||