משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 31:
נגדיר פונקציה <math>\ h : A \rightarrow B</math> באופן הבא: <math>\ h(x) = f(x) </math> אם <math>\ x</math> מסוג ראשון, ו-<math>\ h(x) = x </math> אחרת. כעת נוכיח כמה טענות קלות:
# h מוגדרת לתוך B. אכן, כל איבר של <math>\ A \setminus B</math> הוא מסוג ראשון, ולכן <math>\ h(A) \subseteq f(A \setminus B) \cup B = B</math>.
# h חד-חד-ערכית. נניח ש-<math>\ h(x) = h(y)</math>. אם x,y שניהם מסוג ראשון הם שווים כי f חד-חד-ערכית; ואם שניהם מסוג שני הם שווים לפי ההנחה. נניח, אם כך, ש-x מסוג ראשון ו-y מסוג שני.
# h על: אם <math>b \in B</math> הוא מסוג שני, אז הוא שווה לתמונת h של עצמו; ואם הוא מסוג ראשון אז <math>b = f^n(a)</math> ובהכרח <math>n>0</math>, ולכן <math>\ b' = f^{n-1}(a)</math> גם הוא מסוג ראשון, ואז <math>\ h(b') = f(b') = f^n(a) = b</math>, כך ש-b בתמונת h בכל מקרה.
| |||