23 הבעיות של הילברט – הבדלי גרסאות

{| class="wikitable"

! width="4px" | <!-- צבע מילוי, כאינדיקציה לסטטוס הפתרון של הבעיה ("רמזור") -->

! תיאורה

! מצבה העדכני

| style="text-align:center" | [[השערת הרצף|בעיה 1]]

| [[השערת הרצף]]

| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[קורט גדל|גדל]] ו[[פול כהן|כהן]] שהוכיחו כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של [[תורת הקבוצות]].

| להוכיח שמערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של ה[[אריתמטיקה]] היא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]]

| [[משפטי אי-השלמות של גדל|משפט אי-השלמות השני]] של גדל מראה ש{{צבע גופן|ירוק|המשימה בלתי אפשרית}} מתוך האריתמטיקה עצמה; [[גרהרד גנצן]] הוכיח את עקביות האריתמטיקה בהתבסס על מערכת אקסיומות שונה, אך ההוכחה אינה [[פיניטיסטית]] (דהיינו הוכחה שכוללת רק הליכים שמתייחסים למספר '''סופי''' של תכונות של נוסחאות, ורק למספר '''סופי''' של פעולות עם הנוסחאות{{הערה|ההגדרה מתוך הספר [[משפט גדל (ספר)]] בהוצאת [[הטכניון]] עמוד 28}}) ולכן לא עומדת בקריטריונים של הילברט להוכחה '''מוחלטת''' של עקביות{{הערה|מתוך הספר [[משפט גדל (ספר)]] בהוצאת [[הטכניון]] עמוד 86}}.

|-

| style="text-align:center" | [[הבעיה השלישית של הילברט|בעיה 3]]

| האם אפשר להוכיח שוויון [[נפח]]ים של שני [[ארבעון|ארבעונים]] באמצעות חיתוך

| [[מקס דן]] הראה ש{{צבע גופן|ירוק|התשובה שלילית}}, עוד באותה שנה שהוצגה הבעיה ([[1900]]).

|-

| style="text-align:center" | [[הבעיה הרביעית של הילברט|בעיה 4]]

| למצוא גאומטריות שבהן האקסיומות קרובות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, תוך שמירה על אקסיומות החילה, החלשת אקסיומות הסדר, וויתור על [[אקסיומת המקבילים]]

| {{צבע גופן|כתום|ניסוחה מעורפל}} מכדי לקבוע אם נפתרה או לא.

| style="text-align:center" | [[הבעיה החמישית של הילברט|בעיה 5]]

| האם [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] רציפות הן בהכרח [[חבורת לי|גזירות]]?

| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית,}} על ידי [[אנדרו גליסון]], בתחילת [[שנות ה-50 של המאה ה-20|שנות ה-50]].

| style="text-align:center" | [[הבעיה השישית של הילברט|בעיה 6]]

| ניסוח אקסיומטי של כל החוקים הפיזיקליים

| {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}

| style="text-align:center" | [[הבעיה השביעית של הילברט|בעיה 7]]

| האם <math>a^b</math> [[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטי]], כאשר ''a'' ≠ 0,1 [[מספר אלגברי|אלגברי]] ו-''b'' אלגברי אי-רציונלי?

| {{צבע גופן|ירוק|תשובה חיובית:}} [[משפט גלפונד-שניידר]].

| style="text-align:center" | [[הבעיה השמינית של הילברט|בעיה 8]]

| בעיות ב[[תורת המספרים]]: הוכחת [[השערת רימן]] ו[[השערת גולדבך]]

| {{צבע גופן|אדום|שתי הבעיות פתוחות.}}

| style="text-align:center" | [[הבעיה התשיעית של הילברט|בעיה 9]]

| הכללת [[חוק ההדדיות הריבועי]] לכל [[שדה מספרים]]

| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית,}} עבור הרחבות אבליות, על ידי [[אמיל ארטין]].

| [[הבעיה העשירית של הילברט|בעיה 10]]

| למצוא [[אלגוריתם]] שייקבע, בהינתן [[משוואה דיופנטית]], האם היא [[משוואה פתירה|פתירה]]

| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה: התשובה שלילית,}} לא קיים אלגוריתם שכזה.

| [[הבעיה האחת-עשרה של הילברט|בעיה 11]]

| פתרון של [[תבנית ריבועית|משוואות ריבועיות]] במספר משתנים, עם מקדמים [[מספר אלגברי|אלגבריים]]

| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית,}} בידי [[הלמוט הסה]].

|-

| [[הבעיה השתים-עשרה של הילברט|בעיה 12]]

| {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}

| [[הבעיה השלוש-עשרה של הילברט|בעיה 13]]

| פתרון משוואות ממעלה שביעית באמצעות פונקציות של שני משתנים

| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[ולדימיר ארנולד]].

| [[הבעיה הארבע-עשרה של הילברט|בעיה 14]]

| האם מערכות שלמות מסוימות של פונקציות הן סופיות?

| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[מסיושי נגטה]] ב-[[1958]].

| [[הבעיה החמש-עשרה של הילברט|בעיה 15]]

| {{צבע גופן|כתום|נפתרה (לא ברור אם חלקית או לחלוטין).}}

| [[הבעיה השש-עשרה של הילברט|בעיה 16]]

| מציאה ופיתוח [[טופולוגיה]] של עקומות ומשטחים אלגבריים ממשיים.

| {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}

| [[הבעיה השבע-עשרה של הילברט|בעיה 17]]

| הצגת פונקציה רציונלית חיובית כסכום ריבועים של פונקציות רציונליות

| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}}. לחיוב על ידי [[אמיל ארטין]] ב-[[1927]].

| [[הבעיה השמונה-עשרה של הילברט|בעיה 18]]

| האם יש פאון קמור לא רגולרי שממלא את המרחב?{{ש}}מהו הסידור הטוב ביותר של כדורים במרחב? ([[השערת קפלר]])

| [[הבעיה התשע-עשרה של הילברט|בעיה 19]]

| האם הפתרונות של [[לגראנז'יאן]] הם תמיד אנליטיים?

| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[אניו דה ג'יורג'י]] וכן בנפרד ובמתודולוגיה שונה על ידי [[ג'ון פורבס נאש|ג'ון נאש]] ב-[[1957]].

| {{ללא גלישה|[[הבעיה העשרים של הילברט|בעיה 20]]}}

| האם לכל הבעיות ב[[חשבון וריאציות]] עם [[תנאי שפה]] מסוימים, יש פתרונות?

| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}

|-

|[[הבעיה העשרים ואחת של הילברט|בעיה 21]]

|הוכחת קיום של [[משוואה דיפרנציאלית]] ליניארית עם [[חבורת מונודרומיה]] נתונה

|{{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}

| [[הבעיה העשרים ושתיים של הילברט|בעיה 22]]

| האחדה של יחסים אנליטיים באמצעות [[פונקציה אוטומורפית|פונקציות אוטומורפיות]]

| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}

| {{ללא גלישה|[[הבעיה העשרים ושלוש של הילברט|בעיה 23]]}}

| התפתחות נוספת בתחום [[חשבון וריאציות|חשבון הווריאציות]]

 

לפי דבריהם של [[ג'רמי גריי]] ו[[דייוויד ראו]], אשר פרסמו ספר העוסק בשאלות שהציג הילברט, רוב השאלות שהוצגו על ידי הילברט בשנת 1900 נפתרו. חלקן

מכדי להחליט אם היא נפתרה או לא.

 

ש"בעיית סידור התפוזים במרחב", הידועה גם כ[[השערת קפלר]] נשארה בלתי-פתורה, אך פתרון שהוצע נמצא בבדיקה; קיים עיכוב בבדיקת הטענה משום שראש צוות הבדיקה הודיע כי בגלל עומס הפרטים בהוכחה אין הוא יכול להכריע לגבי נכונתה. יתר על-כן, נרשמו בעשור האחרון התקדמויות גם בפתרון הבעיה השש-עשרה.