הבדלים בין גרסאות בדף "23 הבעיות של הילברט"

אחידות במיקום הערות שוליים
(אחידות במיקום הערות שוליים)
{| class="wikitable"
! width="4px" | <!-- צבע מילוי, כאינדיקציה לסטטוס הפתרון של הבעיה ("רמזור") -->
! width="45px" |
! תיאורה
! מצבה העדכני
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="text-align:center" | [[השערת הרצף|בעיה 1]]
| [[השערת הרצף]]
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[קורט גדל|גדל]] ו[[פול כהן|כהן]] שהוכיחו כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של [[תורת הקבוצות]].
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השנייה של הילברט|בעיה 2]]
| להוכיח שמערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של ה[[אריתמטיקה]] היא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]]
| [[משפטי אי-השלמות של גדל|משפט אי-השלמות השני]] של גדל מראה ש{{צבע גופן|ירוק|המשימה בלתי אפשרית}} מתוך האריתמטיקה עצמה; [[גרהרד גנצן]] הוכיח את עקביות האריתמטיקה בהתבסס על מערכת אקסיומות שונה, אך ההוכחה אינה [[פיניטיסטית]] (דהיינו הוכחה שכוללת רק הליכים שמתייחסים למספר '''סופי''' של תכונות של נוסחאות, ורק למספר '''סופי''' של פעולות עם הנוסחאות{{הערה|ההגדרה מתוך הספר [[משפט גדל (ספר)]] בהוצאת [[הטכניון]] עמוד 28}}) ולכן לא עומדת בקריטריונים של הילברט להוכחה '''מוחלטת''' של עקביות{{הערה|מתוך הספר [[משפט גדל (ספר)]] בהוצאת [[הטכניון]] עמוד 86}}.
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השלישית של הילברט|בעיה 3]]
| האם אפשר להוכיח שוויון [[נפח]]ים של שני [[ארבעון|ארבעונים]] באמצעות חיתוך
| [[מקס דן]] הראה ש{{צבע גופן|ירוק|התשובה שלילית}}, עוד באותה שנה שהוצגה הבעיה ([[1900]]).
|-
| style="background:gold" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה הרביעית של הילברט|בעיה 4]]
| למצוא גאומטריות שבהן האקסיומות קרובות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, תוך שמירה על אקסיומות החילה, החלשת אקסיומות הסדר, וויתור על [[אקסיומת המקבילים]]
| {{צבע גופן|כתום|ניסוחה מעורפל}} מכדי לקבוע אם נפתרה או לא.
|-
| style="background:gold" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה החמישית של הילברט|בעיה 5]]
| האם [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] רציפות הן בהכרח [[חבורת לי|גזירות]]?
| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית,}} על ידי [[אנדרו גליסון]], בתחילת [[שנות ה-50 של המאה ה-20|שנות ה-50]].
|-
| style="background:LightCoral" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השישית של הילברט|בעיה 6]]
| ניסוח אקסיומטי של כל החוקים הפיזיקליים
| {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השביעית של הילברט|בעיה 7]]
| האם <math>a^b</math> [[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטי]], כאשר ''a'' ≠ 0,1 [[מספר אלגברי|אלגברי]] ו-''b'' אלגברי אי-רציונלי?
| {{צבע גופן|ירוק|תשובה חיובית:}} [[משפט גלפונד-שניידר]].
|-
| style="background:LightCoral" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה השמינית של הילברט|בעיה 8]]
| בעיות ב[[תורת המספרים]]: הוכחת [[השערת רימן]] ו[[השערת גולדבך]]
| {{צבע גופן|אדום|שתי הבעיות פתוחות.}}
|-
| style="background:gold" |
| style="text-align:center" | [[הבעיה התשיעית של הילברט|בעיה 9]]
| הכללת [[חוק ההדדיות הריבועי]] לכל [[שדה מספרים]]
| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית,}} עבור הרחבות אבליות, על ידי [[אמיל ארטין]].
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה העשירית של הילברט|בעיה 10]]
| למצוא [[אלגוריתם]] שייקבע, בהינתן [[משוואה דיופנטית]], האם היא [[משוואה פתירה|פתירה]]
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה: התשובה שלילית,}} לא קיים אלגוריתם שכזה.
|-
| style="background:gold" |
| [[הבעיה האחת-עשרה של הילברט|בעיה 11]]
| פתרון של [[תבנית ריבועית|משוואות ריבועיות]] במספר משתנים, עם מקדמים [[מספר אלגברי|אלגבריים]]
| {{צבע גופן|כתום|נפתרה חלקית,}} בידי [[הלמוט הסה]].
|-
| style="background:LightCoral" |
| [[הבעיה השתים-עשרה של הילברט|בעיה 12]]
| הכללת [[משפט קרונקר-ובר]] על ה[[הרחבת שדות אבלית|הרחבות האבליות]] של [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] ל[[שדה מספרים]] כלשהו.
| {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה השלוש-עשרה של הילברט|בעיה 13]]
| פתרון משוואות ממעלה שביעית באמצעות פונקציות של שני משתנים
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[ולדימיר ארנולד]].
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה הארבע-עשרה של הילברט|בעיה 14]]
| האם מערכות שלמות מסוימות של פונקציות הן סופיות?
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[מסיושי נגטה]] ב-[[1958]].
|-
| style="background:gold" |
| [[הבעיה החמש-עשרה של הילברט|בעיה 15]]
| ביסוס מסודר של [[תחשיב שוברט]]
| {{צבע גופן|כתום|נפתרה (לא ברור אם חלקית או לחלוטין).}}
|-
| style="background:LightCoral" |
| [[הבעיה השש-עשרה של הילברט|בעיה 16]]
| מציאה ופיתוח [[טופולוגיה]] של עקומות ומשטחים אלגבריים ממשיים.
| {{צבע גופן|אדום|פתוחה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה השבע-עשרה של הילברט|בעיה 17]]
| הצגת פונקציה רציונלית חיובית כסכום ריבועים של פונקציות רציונליות
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}}. לחיוב על ידי [[אמיל ארטין]] ב-[[1927]].
|-
| style="background:gold" |
| [[הבעיה השמונה-עשרה של הילברט|בעיה 18]]
| האם יש פאון קמור לא רגולרי שממלא את המרחב?{{ש}}מהו הסידור הטוב ביותר של כדורים במרחב? ([[השערת קפלר]])
| השערת קפלר נפתרה על ידי היילס בשנת 1998 ופורסמה ב-2005.{{הערה|1={{דוידסון|ד"ר טל קוולר|איך לארוז תפוזים, שלב ההוכחה|sciencenews/איך-לארוז-תפוזים-שלב-ההוכחה|9 ביולי 2017}}}}.
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה התשע-עשרה של הילברט|בעיה 19]]
| האם הפתרונות של [[לגראנז'יאן]] הם תמיד אנליטיים?
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה}} על ידי [[אניו דה ג'יורג'י]] וכן בנפרד ובמתודולוגיה שונה על ידי [[ג'ון פורבס נאש|ג'ון נאש]] ב-[[1957]].
|-
| style="background:LightGreen" |
| {{ללא גלישה|[[הבעיה העשרים של הילברט|בעיה 20]]}}
| האם לכל הבעיות ב[[חשבון וריאציות]] עם [[תנאי שפה]] מסוימים, יש פתרונות?
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
|[[הבעיה העשרים ואחת של הילברט|בעיה 21]]
|הוכחת קיום של [[משוואה דיפרנציאלית]] ליניארית עם [[חבורת מונודרומיה]] נתונה
|{{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}
|-
| style="background:LightGreen" |
| [[הבעיה העשרים ושתיים של הילברט|בעיה 22]]
| האחדה של יחסים אנליטיים באמצעות [[פונקציה אוטומורפית|פונקציות אוטומורפיות]]
| {{צבע גופן|ירוק|נפתרה.}}
|-
| style="background:Gold" |
| {{ללא גלישה|[[הבעיה העשרים ושלוש של הילברט|בעיה 23]]}}
| התפתחות נוספת בתחום [[חשבון וריאציות|חשבון הווריאציות]]
 
לפי דבריהם של [[ג'רמי גריי]] ו[[דייוויד ראו]], אשר פרסמו ספר העוסק בשאלות שהציג הילברט, רוב השאלות שהוצגו על ידי הילברט בשנת 1900 נפתרו. חלקן
לא הוגדרו היטב, אבל הושגה התקדמות מספקת על מנת להגדירן כ"פתורות". ראו וגריי מציינים את הבעיה הרביעית כמעורפלת מדי
מכדי להחליט אם היא נפתרה או לא.
 
כמו כן, הם מנו את הבעיה השמונה-עשרה כבעיה פתוחה בזמן הוצאת ספרם בשנת 2000 וזאת מכיוון
ש"בעיית סידור התפוזים במרחב", הידועה גם כ[[השערת קפלר]] נשארה בלתי-פתורה, אך פתרון שהוצע נמצא בבדיקה; קיים עיכוב בבדיקת הטענה משום שראש צוות הבדיקה הודיע כי בגלל עומס הפרטים בהוכחה אין הוא יכול להכריע לגבי נכונתה. יתר על-כן, נרשמו בעשור האחרון התקדמויות גם בפתרון הבעיה השש-עשרה.