הבדלים בין גרסאות בדף "הרחבת גלואה"

הרחבה
מ (הוספת קישור לאידמפוטנט)
(הרחבה)
'''הרחבת גלואה''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבה נורמלית|נורמלית]] ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]]. הרחבות כאלו הן [[אבן פינה|אבן הפינה]] של [[תורת גלואה]], משוםלא שישרק להןמכיוון [[חבורתשזה גלואה|חבורותגורר גלואה]]מספר מןתוצאות הסדרשונות המקסימליאלא האפשרי,גם המקנותמכיוון להןשהרחבות סימטריהגלואה מלאה.מקיימות את [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] מספק התאמה מלאה בין שדות הביניים בהרחבה, לבין תת-החבורות בחבורת גלואה של ההרחבה.
 
הרחבתתוצאה שדותשל K/F[[אמיל היאארטין]] מאפשרת לבנות הרחבת גלואה אםבקלות: ורקעבור אם F הוא [[שדה שבת|שדהL, השבת]]נסמן החלקי לב-KG של [[חבורה (מבנהכלשהי אלגברי)|חבורת]]של כל ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של L. עבור K מעלשדה F.השבת אםשל נסמןG, חבורהמתקיים זו בש-<math>G_{L/K/F}</math> אזיהרחבת <math>F = K^{G_{K/F}}</math>גלואה.
 
כל [[הרחבה ספרבילית|הרחבת שדות ספרבילית]] אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת '''סְגור גלואה''' של ההרחבה המקורית.
כל [[שדה פיצול]] של פולינום ספרבילי הוא הרחבת גלואה, וכל הרחבת גלואה סופית היא שדה הפיצול של פולינום מתאים.
 
== הגדרות שקולות ==
כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת '''סְגור גלואה''' של ההרחבה המקורית.
להרחבות גלואה יש מספר הגדרות שקולות:
 
* הרחבה נורמלית וספרבילית
אם K/F היא הרחבת גלואה אזי <math>| \mathrm{Gal}(K/F) | = \left[ K : F \right]</math>.
* <math>| \operatorname{Aut} \left(L / K \right) | = \left[ L : K \right]</math>עבור <math>\operatorname{Aut} \left(K / L \right)</math>[[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]].
* L [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של [[פולינום ספרבילי]] מעל K
* K הוא שדה השבת של <math>\operatorname{Aut} \left(K / L \right)</math>, כלומר K היא קבוצת כל האיברים שנשמרים במקומם על ידי כל איברי <math>\operatorname{Aut} \left(K / L \right)</math>.
 
== דוגמאות. ==
 
1. כל הרחבה ריבועית ספרבילית היא נורמלית, ולכן גלואה.
 
2. נסמן ב- <math>\ \alpha = \sqrt[4]{2}</math> את השורש ה'''רביעי''' של 2. השדה <math>\ L=\mathbb{Q}[\alpha]</math> אינו הרחבת גלואה של <math>\ \mathbb{Q}</math>, משום שההרחבה אינה נורמלית: <math>\ \alpha</math> הוא שורש של הפולינום <math>\ x^4-2</math>, שהוא אי-פריק (לפי [[קריטריון אייזנשטיין]]) אבל השורש <math>\ i\alpha</math> אינו שייך ל-K. לעומת זאת, L הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים <math>\ L_0 = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math>. סגור גלואה של ההרחבה <math>\ L/\mathbb{Q}</math> מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל-<math>\ \mathbb{Q}</math>, ושווה משום כך ל- <math>\ K = \mathbb{Q}[\alpha,i\alpha,-\alpha,-i\alpha] = \mathbb{Q}[\alpha,i]</math>. זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מאותו סדר.
 
== הכללה להרחבות של חוגים ==
 
בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה S של חוג R, יחד עם חבורה G של אוטומורפיזמים של S, נקראת '''הרחבת גלואה''' של R אם S [[מודול פרויקטיבי]] מעל R, תת-החוג האינווריאנטי תחת G הוא R, ולכל [[אידמפוטנט]] e של S פעולת G נאמנה על Se (כלומר לכל <math>\ \sigma \neq 1</math> קיים <math>\ x\in S</math> כך ש-<math>\ (\sigma(x)-x)e \neq 0</math>). הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה K/F, המכפלה הישרה <math>\ S = K \times \cdots \times K</math> היא הרחבת גלואה של F ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על ידי שיכון אלכסוני של <math>\ \operatorname{Gal}(K/F)</math> ו[[פעולה טרנזיטיבית]] [[פעולה רגולרית|רגולרית]] על העותקים של K. לדוגמה, אם R תחום שלמות, הרחבת גלואה הנוצרת על ידי איבר אחד היא תמיד מהצורה <math>\ R[x]/\langle f(x) \rangle</math> כאשר הפולינום f [[פולינום מתוקן]] וה[[דיסקרימיננטה]] שלו היא [[איבר הפיך]] של R. בפרט, ההרחבה היחידה מדרגה 2 של חוג השלמים <math>\ \mathbb{Z}</math> היא <math>\ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}</math>.
==קישורים חיצוניים==