גאומטריה לא-אוקלידית – הבדלי גרסאות

לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל [[גאומטריה]] שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]], שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. גאוס גילה רבות מהתכונות היסודיות של הגאומטריה הלא אוקלידית (או, באופן ספציפי יותר, של הגאומטריה ההיפרבולית): אי-האפשרות של צורות דומות, קיומו של אורך אבסולוטי א-פריורי (absolute length), גילה והוכיח את הקשר בין האינטגרל על [[עקמומיות גאוס|עקמומיות]] המשטח לגירעון הזוויתי של משולש על פניו (ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות), מצא נוסחה לשטח המקסימלי של משולש בגאומטריה היפרבולית, וכן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית. אחריו, בשנות העשרים של המאה ה-19, הגיעו לרעיון באופן בלתי תלוי המתמטיקאי הרוסי [[ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי]] וקצין הצבא ההונגרי [[יאנוש בויאי]]. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, ה'''[[גאומטריה היפרבולית|גאומטריה ההיפרבולית]]''', אומרת שדרך [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] מחוץ ל[[ישר]] עוברים [[אינסוף]] [[ישרים מקבילים]] לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, ה'''[[גאומטריה פרויקטיבית|גאומטריה הפרויקטיבית]]''' וה'''[[גאומטריה כדורית|גאומטריה הכדורית]]''', שאותן פיתח [[ברנרד רימן]], תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.

 

 

עד סוף המאה ה-19 התברר שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס ל[[מכניקה]] של [[אייזק ניוטון]], כך מהווה הגאומטריה הדיפרנציאלית (שמאפשרת מרחב לא-אוקלידי) המיושמת על [[יריעה פסאודו-רימנית]] (כלומר: יריעה בה [[הטנזור המטרי]] לא [[מטריצה חיובית|חיובי לחלוטין]]) בסיס ל[[תורת היחסות הכללית]], והיא הגאומטריה שמתארת נאמנה את ה[[מרחב-זמן]].