זווית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
החלפת הדף בתוכן "רגבהש\בטעהב9עדג9עגנ 9 דDF A9G9ASGDBVBDFY7BA9SBNU9X BB9SD7B AUH AYGEY6R8" תגית: החלפה |
מ שוחזר מעריכות של 81.218.13.130 (שיחה) לעריכה האחרונה של Matanyabot |
||
שורה 1:
[[קובץ:Angels.svg|ממוזער|200px|שתי הקרניים (מסומנות באדום) מחלקות את המרחב הדו-ממדי לשתי זווית.]]
[[קובץ:Angel sectors.svg|ממוזער|200px|זוויות כגזרות מעגל. גודל הזווית <math>\alpha</math> ברדיאנים, שווה ליחס בין אורך הקשת L1 לרדיוס R, ואילו גודל הזווית <math>\beta</math> שווה ליחס בין אורך הקשת L2 לאורך הרדיוס.]]
ב[[גאומטריה]], '''זווית''' היא כל אחד משני [[מישור (גאומטריה)|חלקי המישור]] ה[[קבוצה סגורה|סגורים]] המוגבלים על ידי שתי [[קרן (גאומטריה) |קרניים]] שיש להן נקודת קצה משותפת{{הערה|שם=זווית|{{אנציקלופדיה למתמטיקה|Angle}}}}{{הערה|כל זווית כוללת את התחום המוגבל על ידי שתי הקרניים, ואת הקרניים עצמן. שתי הזוויות מהוות ביחד את המישור ה[[מרחב דו-ממדי|דו-ממדי]] כולו.}}{{הערה|בדרך כלל, אם לא צוין אחרת, מקובל להתייחס לזווית הקטנה מבין השתיים.}}.
לשם המחשה, מקובל לדמות את המישור ל[[מעגל]], ואת שתי הקרניים לשניים מ[[רדיוס|רדיוסיו]]. על פי דימוי זה, הזווית היא [[מעגל#חלקים של העיגול|גזרת המעגל]] המוגבלת על ידי שני רדיוסים. קרני הזווית, או הרדיוסים המגבילים אותה, מכונים '''שוקי הזווית'''. נקודת הקצה המשותפת לשתי השוקיים, נקראת '''קדקוד הזווית'''. סימון זוויות נעשה, בדרך כלל, באמצעות אותיות ה[[אלפבית יווני|אלפבית היווני]].
זווית בין שתי [[עקומה|עקומות]] במישור שנחתכות זו עם זו, היא הזווית בין ה[[משיק|משיקים]] לעקומות, בנקודת החיתוך. ב[[מרחב תלת-ממדי|מרחב התלת-ממדי]], [[זווית דו-מישור|זווית בין מישורים]] נחתכים, היא הזווית הנוצרת בין שני ישרים השוכנים בשני המישורים, וה[[אנך|מאונכים]] לקו החיתוך של המישורים, בנקודה כלשהי. הזווית בין שתי [[קשת (גאומטריה)|קשתות]] על פני [[כדור (גאומטריה)|כדור]] היא הזווית בין המישורים המכילים אותן.
==גודל הזווית==
בשם '''זווית''', מכנים גם את גודלה של הזווית, שהוא [[גודל חסר ממד]]. על פי ההגדרה המקורית, גודל הזווית, הוא חלק המישור המוגבל על ידי שתי שוקיה. כך למשל, במקרה בו שתי שוקי זווית מתלכדות, אחת מהזוויות המתקבלות שווה ל-'''0''', ואילו השנייה שווה ל-'''1''' ('''זווית שלמה''').
בשימושים מתמטיים, גודל הזווית מוגדר על ידי היחס בין ה[[קשת (גאומטריה)|קשת]] המוגבלת על ידי שוקי הזווית, לבין אורך השוק עצמה (רדיוס הקשת). יחידת המידה בשיטה זו היא ה[[רדיאן]]{{הערה|יש המגדירים את הרדיאן כאורך הקשת במעגל יחידה (שרדיוסו 1), בהגדרה זו, אורך הקשת אינו אורך, במובן הרגיל של המילה, שכן הוא חסר ממד.}}. לפי שיטה זו גודל הזווית השלמה הוא [[פאי|<math>\ 2\pi</math>]] רדיאנים.
בשימושים שאינם מתמטיים, מקובלת הגדרה המבוססת על חלוקת המעגל ל-360 גזרות מעגל שוות{{הערה|את הזווית השלמה קבעו הבבלים, שספרו ב[[בסיס סקסגסימלי|בסיס 60]], וחילקו אותה לשישה חלקים בני שישים מעלות כל אחד}}{{הערה|מוכרות חלוקות אחרות של הזווית השלמה. כך למשל, ה[[גראד (זווית)|גראד]] היא יחידה המבוססת על חלוקת הזווית השלמה ל-400 חלקים שווים}}. כל יחידה כזו קרויה [[מעלה (זווית)|מעלה]]. [[מעלה (סימן)|הסמל המקובל לציון יחידה זו]] הוא סימן כתב עילי בצורת עיגול ('''°''').
ניתן להגדיר את גודל הזווית גם במושגים של [[סיבוב (מכניקה)|סיבוב]]. על פי הגדרה זו, הזווית השלמה מקבילה לסיבוב מלא של קרן או של [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] סביב נקודת הקצה שלהם{{הערה|הגדרה זו שימושית במיוחד בשימושים פיזיקליים, בהם מתייחסים לעצמים המסתובבים סביב ציר פעמים רבות. כך למשל, יחידת ה[[סיבובים לדקה|סל"ד]], מציינת את מספר הסיבובים שעושה גוף סביב ציר בדקה.}}, וגודלן של זוויות שהן קטנות מזווית שלמה, מוגדר על ידי חלקי סיבוב.
למדידה מקורבת של זווית משמש [[מד זווית]] - [[מכשיר מדידה]] דמוי חצי עיגול, או עיגול שלם, שעליו [[שנתה|שנתות]] עם סימון גודלי הזוויות. מדידה מדויקת יותר יכולה להיעשות באמצעות [[מד-זווית אלקטרו-מכני]].
==סוגי זוויות==
<!-- [[קובץ:Right angle.svg|ממוזער|150px|זווית ישרה]] -->
[[קובץ:Types_of_angles_he.svg|ממוזער|400px|סוגי זוויות]]
=== זווית בודדת ===
*'''זווית מנוונת''' – זווית בת 0°.
*'''זווית ישרה''' – רבע מזווית שלמה. זווית בת 90°. במקרה זה כל אחד מן הישרים נקרא [[אנך]].
*'''זווית חדה''' – זווית הקטנה מזווית ישרה (וגדולה מ-0°).
*'''זווית קהה''' – זווית הגדולה מזווית ישרה וקטנה מזווית שטוחה.
*'''זווית שטוחה''' – מחצית מזווית שלמה. זווית בת 180°.
*'''זווית נִישָּׂאָה''' – זווית בת יותר מ-180° אך פחות מ-360°.
*'''זווית שלמה''' – זווית בת 360°.
=== זוגות של זוויות ===
[[קובץ:Parallel_transversal.svg|שמאל|ממוזער|250px|זוג ישרים מקבילים, a ו-b, נחתכים על ידי ישר שלישי, t]]
* '''זוויות משלימות''' – זוג זוויות שסכום גודלם יחד כגודל זווית שטוחה.{{דרוש מקור|סיבה = לי זכור ש"זוויות משלימות" משלימות לזווית שטוחה. ראו גם כאן: http://moital.gov.il/NR/rdonlyres/A62530B0-5475-4803-A288-4EA92EFA5E45/0/nispah.pdf
הערה - זוויות משלימות הם זוויות שסכום גודלם שווה ל-180°. ההגדרה המובאת כאן זהה להגדרה של זוויות צמודות. הזוויות לא 'מרכיבות' אלא 'משלימות'. שהרי (לדוגמה) זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות זו את זו ל-180° אבל לא 'מרכיבות'.}}
* '''זוויות צמודות''' – זוג זוויות המרכיבות יחד זווית שטוחה.{{הערה|ההגדרה לא כל כך ברורה. ממליץ לשנות להגדרה זאת: "זוויות צמודות הן זוג זוויות בעלי קודקוד ושוק משותפות, כאשר השוקיים שאינם משותפות הם חלקים של ישר אחד." וכן להוסיף בנפרד את המשפט: "זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-180°".}}
* '''[[זוויות קודקודיות]]''' – זוג זוויות הנמצאות זו מול זו (כלומר, שיש להן קודקוד/נקודה משותפת, אך הן אינן זוויות צמודות), מבין ארבע הזוויות הנוצרות כאשר שני ישרים נחתכים.
* כאשר ישר אחד חותך שני ישרים, נוצרות שמונה זוויות בעלי שמות אופיינים, ואם שני הישרים הם [[ישרים מקבילים]], נוצרות שוויונות והשלמות מסוגים שונים:{{הערה|[http://www.damada.co.il/topics/math/db/plane_geometry_two_parallel_lines/plane_geometry_two_parallel_lines.shtml שני ישרים מקבילים], באתר [http://www.damada.co.il דע מדע]}}
** '''זוויות מתאימות''' – זוג זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותו מקום ביחס לשני הישרים (מעל הקו הישר או מתחת הקו הישר). זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו בגודלן.
** '''זוויות חד-צדדיות''' – זוג זוויות מאותו צד של הישר החותך, הנמצאות שתיהן בין שני הישרים. ('''פנימיות'''), או שתיהן מחוץ לשני המקבילים ('''חיצוניות'''). סכום זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים הוא 180° (כמו זווית שטוחה).{{הערה|יש לשים לב שזוויות חד צדדיות, זוויות מתחלפות וזוויות מתאימות קיימות בין כל שני ישרים הנחתכים על ידי ישר שלישי (גם אם אינם מקבילים), אבל משפטי השוויון וההשלמה ל-180° מתקיימים *רק* אם שני הישרים מקבילים.}}
** '''זוויות מתחלפות''' – זוג זוויות משני צדי הישר החותך, הנמצאות שתיהן בין שני הישרים ('''פנימיות'''), או שתיהן מחוץ לשני הישרים ('''חיצוניות'''). זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו בגודלן.
[[במצולעים]] שונים יש גם שמות שונים לזוגות של זוויות:
* '''זוויות בסיס''' במשולשים וטרפזים שווי שוקיים הן הזוויות שמול השוקים השוות (בשניהם), וגם בדלתון יש זוויות בסיס ואלו הזוויות שנמצאות בין הצלעות שאינם שוות בדלתון. יש משפט האומר שזוויות בסיס שוות במשולשים וטרפזים שווי שוקיים ובדלתונים. (ההוכחה של המשפט בדלתון מתבססת על חלוקתו לשני משולשים שווי שוקיים, ותקפה לכל סוגי הדלתונים).
* '''זוויות נגדיות''' במרובעים הן זוג זוויות פנימיות של המרובעים ללא שוק משותפת. קיימים שתי זוגות כאלה בכל מרובע. יש משפט האומר שזוויות נגדיות במקבילית, ובמרובעים שגם הם סוג של מקבילית, שוות בניהם.
==בעיות הקשורות בזוויות==
חצייה של זווית (כלומר חלוקתה לשתי זוויות שוות זו לזו), באמצעות סרגל ומחוגה בלבד, היא [[בנייה בסרגל ומחוגה|בעיית בנייה]] פשוטה ביותר. [[טריסקציה של זווית]], כלומר חלוקתה לשלוש זוויות שוות, התגלתה כבעיה קשה ביותר. אף שהבעיה הוצגה כבר ב[[יוון העתיקה]], הרי שרק ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] נמצאה [[הוכחה]] שלבעיה זו אין פתרון.
על זוויות במצולע ראו בערך [[מצולע]].
הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות הפועלות על זוויות. ה[[טריגונומטריה]], העוסקת בפונקציות אלה, כוללת משפטים רבים העוסקים בקשרים בין זוויות שונות.
==ראו גם==
*[[זווית דו-מישור]]
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/זווית|שם ויקיספר=זווית|ויקימילון=זוית}}
* [http://www.education.gov.il/tochniyot_limudim/math/karnaim.htm#ka11 הסבר על זוויות] - מתוך המילון לגאומטריה של משרד החינוך
*[https://alaxon.co.il/interest/למה-אין-100-מעלות-במעגל/ למה יש 360 מעלות במעגל?], באתר [[אלכסון (כתב עת)|אלכסון]]
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Angle}}
* {{MathWorld}}
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:גאומטריה]]
[[קטגוריה:זוויות|*]]
| |||