לוגיקה מתמטית – הבדלי גרסאות

נוספו 41 בתים ,  לפני שנתיים
מ
←‏פתיח: תיקון קישור
מ (←‏פתיח: תיקון קישור)
לוגיקה מתמטית עוסקת באותם חלקים של ה[[לוגיקה]] שניתן ליצור להם [[מודל מתמטי]]. בעבר נקרא התחום גם בשמות '''לוגיקה סימבולית''' (בשל עיסוקו בטענות המיוצגות בידי סמלים) או '''מטה-מתמטיקה'''. השם השני מתייחס כיום רק ל[[תורת ההוכחות]], אחד התחומים בלוגיקה מתמטית.
 
על מנת לנתח טענות, הלוגיקה המתמטית דורשת שאלו יעברו [[הצרנה]]: תרגום הטענות בשפה המדוברת (או בשפה המתמטית) לטענות בתחשיב [[ריגורוזי]] וחד משמעי. שני התחשיבים הלוגיים הנפוצים הם "[[תחשיב הפסוקים]]" הבסיסי, המביע את הקשרים בין ערכי האמת של טענות פשוטות ומורכבות, ו"[[תחשיב הפרדיקטים]]" המתקדם, המאפשר לטפל במבנה הפנימי של טענות ובקשר שהן מביעות בין אובייקטים לבין המושגים ([[פרדיקט (לוגיקה מתמטית)|פרדיקטים]]ים) החלים עליהם.
 
הוכחת טענות בלוגיקה מתמטית היא תהליך שבו מתחילים מאוסף של הנחות יסוד ומסיקים מהן סדרה של מסקנות עד שמגיעים לטענה המבוקשת. הסקת המסקנות מתבססת על אוסף כללי יסוד שאי אפשר להוכיח את נכונותם. כלל יסוד כזה מכונה [[אקסיומה]]. הלוגיקה המתמטית מנתחת את הקשרים בין הטענות המוצרנות לפי האקסיומות ו[[כלל היסק|כללי היסק]] של המערכת. ניתוח זה של הוכחות (טיעונים המורכבים ממספר טענות) הוא לא יותר מאשר טיפול פורמלי ב[[מחרוזת (תכנות)|מחרוזות]] וניתן לביצוע במלואו, ללא מעורבות אדם, על ידי [[מחשב]]. מכיוון שטענות מורכבות שמוצרנות במלואן הן בלתי קריאות בפועל למרבית בני האדם (כולל מתמטיקאים), ישנן הוכחות שרק מחשבים יכולים לבצע בפועל. ואולם, מאותה סיבה, הוכחת [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] מתמטיים רבים עדיין נעשית על ידי מתמטיקאים בשפה שהיא שילוב בין השפה היום-יומית לנוסחאות מתמטיות והצרנה לוגית חלקית.