שיווי משקל נאש – הבדלי גרסאות

ב[[תורת המשחקים]], '''שיווי משקל נאש''' (ב[[אנגלית]]: '''Nash equilibrium''', על שם [[ג'ון פורבס נאש]]) הוא מושג המשמש בחקר משחקים שאינם [[משחק שיתופי|שיתופיים]], כלומר משחקים שבהם השחקנים אינם מתקשרים ביניהם, ולכן אינם יכולים לקבל החלטות משותפות.

{{סימון מתמטי}}נניח שיש <math>I</math> שחקנים וכל שחקן <math> i \in \left \{ 1, 2, \ldots , I \right \} </math> יכול לבחור אסטרטגיה (תכסיס) אחת מתוך קבוצת האסטרטגיות הקיימות עבורו: <math>s_j \in S_i</math>. נסמן את צירוף האסטרטגיות של כל השחקנים באות <math>s</math> (ללא סימון שחקן): <math> s \in S = S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_I </math> . תוצאת המשחק נקבעת לפי צירוף האסטרטגיות וכך גם ווקטור התשלום לשחקנים: <math> g\left ( s \right ) </math>. נהוג לכתוב את צירוף האסטרטגיות מנקודת מבטו של שחקן <math> i </math> כך: <math> s = \left ( s_i, s_{-i} \right ) </math> . כלומר, האסטרטגיה שלי והאסטרטגיה של שאר השחקנים.

צירוף האסטרטגיות <math> s^*=\left (s_1^*,s_2^*,\ldots,s_I^*\right ) </math> הוא שיווי משקל נאש אם לכל שחקן i מתקיים:

<math> g\left ( s_i^*,s_{-i}^* \right )

נניח שני שחקנים. שחקן 1 יכול לבחור בין תכסיסים <math>S_1 = \left ( A, B, C \right )</math> ושחקן 2 יכול לבחור מתוך הקבוצה <math>S_2 = \left ( d, e, f \right )</math> . התשלומים מתוארים בעזרת הטבלה הבאה (כל משבצת היא כמו הפונקציה

עבור כל אחד מהצירופים של האסטרטגיות אנחנו יכולים לבדוק האם הוא שיווי משקל נאש. ישנם שני שיוויי משקל נאש במשחק זה. הראשון הוא <math>\left ( A, d \right )</math> עם תשלומים <math>\left ( 4, 4 \right )</math>. כל עוד שחקן 1 בוחר A, הדבר הטוב ביותר ששחקן 2 יכול לעשות זה לבחור d. כל אסטרטגיה אחרת מצד שחקן 2 תפחית את התשלום עבורו. אם יבחר e יקבל 3 ואם יבחר f יקבל 2. כעת, אם שחקן 2 בוחר ב-d, הדבר הכיהטוב טובביותר ששחקן 1 יכול לעשות זה לבחור A. כל אסטרטגיה אחרת מצד שחקן 1 תפחית את התשלום שלו מ-4 ל-2, לכן לא משתלם לו לסטות מ-A.