ארבעון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקנתי מידע שגוי תגיות: חשד למילים בעייתיות עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
מ שוחזר מעריכות של 185.32.176.5 (שיחה) לעריכה האחרונה של טבעת-זרם |
||
שורה 1:
[[קובץ:Tetrahedron.gif|ממוזער|250px|ארבעון משוכלל]]
'''אַרְבָּעוֹן'''{{הערה|במילוני [[האקדמיה ללשון העברית]] השונים גם: '''פִּירָמִידָה מְשֻׁלֶּשֶׁת''', '''פִּירָמִידָה מְשֻׁלָּשִׁית''', '''טֶיטְרָאֶדְרוֹן''', '''טֶטְרָאֵדֶר'''}} (גם '''טטראדר''' או '''טטרהדרון'''; ב[[אנגלית]]: '''Tetrahedron''') הוא [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]] משולשת, כלומר גוף שכל ארבע פאותיו הן [[משולש]]ים. לארבעון 4 [[קודקוד]]ים, 4 [[פאה (גאומטריה)|פאות]], ו-6 [[מקצוע (גאומטריה)|מקצוע]]ות.
אף על פי שלעיתים נתפסת ה[[תיבה (גאומטריה)|תיבה]] כגוף הפשוט ביותר, תואר זה שייך דווקא לארבעון. הוא מכיל את מספר הקדקודים המזערי הדרוש כדי להיות גוף [[מרחב תלת-ממדי|תלת ממד]]י ולא [[מישור (גאומטריה)|מישורי]], שכן דרך כל שלוש [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] עובר [[מישור (גאומטריה)|מישור]].
הארבעון הוא 3-סימפלקס, [[מקרה פרטי]] של n-[[סימפלקס]] ([[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] רב-ממדית של ה[[משולש]]).
== ארבעון משוכלל ==
ארבעון משוכלל הוא ארבעון שכל פאותיו הן [[משולש שווה-צלעות|משולשים שווי צלעות]].
הארבעון המשוכלל סימטרי במידה רבה ביותר: [[חבורת הסימטריות]] שלו [[פעולת חבורה|פועלת]] [[פעולה טרנזיטיבית|4-טרנזיטיבית]] על ארבעת הקודקודים, כלומר, אפשר להעביר, על ידי סיבוב ושיקוף, כל סדרת קודקודים לכל סדרת קודקודים אחרת. חבורת הסימטריות המרחביות של הארבעון המשוכלל איזומורפית ל[[חבורת תמורות]] <math>A_4</math>. השלד של הארבעון הוא ה[[גרף שלם|גרף השלם]] <math>K_4</math>, וחבורת הסימטריות שלו איזומורפית ל-<math>S_4</math>.
הארבעון המשוכלל הוא אחד מ[[חמשת הגופים האפלטוניים]], הידועים גם בשם [[פאון משוכלל|הפאונים המשוכללים]]. גוף אפלטוני הוא [[פאון]] שכל פאותיו הן אותו [[מצולע משוכלל]] (מצולע שווה-צלעות), ובכל אחד מ[[קודקוד]]יו נפגשות פאות באותו מספר.
[[שטח פנים|שטח הפנים]] A וה[[נפח]] V של ארבעון משוכלל בעל צלע a הם:
:<math>A=\sqrt{3}a^2</math>
:<math>V = \tfrac{\sqrt{2}a^3}{12}</math>
הארבעון המשוכלל הוא [[פאון דואלי|דואלי]] לעצמו. כלומר: אם נסמן בכל אחת מפאותיו של ארבעון את הנקודה האמצעית, ונחבר את כל הנקודות הללו, נקבל ארבעון משוכלל.
== מיון הארבעונים על-פי הסימטריות שלהם ==
את הארבעונים אפשר למיין למשפחות, על-פי חבורת הסימטריות שלהם. זהו מיון בעל משמעות ב[[קריסטלוגרפיה]], שם ממיינים את ה[[סריג (מבנה גאומטרי)|סריגים]] ל[[סריגי בראבה|מחלקות בראבה]] ול[[מערכת גבישית|מערכות גבישיות]], בין השאר, על-פי [[חבורת סימטריות נקודתית|חבורת הסימטריות]] של [[תא יחידה|תא היחידה]] של הסריג.
=== הסימטריות של השלד ===
[[קובץ:Symmetry subgroups of S4.jpg|שמאל|ממוזער|250px|סריג תת-החבורות של <math>\ S_4</math>: עותק אחד מכל מחלקת צמידות. בשחור: תת-חבורות המופיעות כחבורות סימטריה של שלדי ארבעונים]]
הקודקודים והמקצועות של ארבעון מרכיבים את השלד החד-ממדי שלו, שהוא [[גרף (תורת הגרפים)|גרף]] שממנו אפשר לשחזר את המבנה הגאומטרי, התלת-ממדי. בסימטריות של השלד אפשר לבצע גם פעולות שאינן אפשריות בגוף צפיד, השקולות לשיקוף של המרחב: [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] של הקודקודים מהווה סימטריה של השלד, אם היא מעתיקה כל מקצוע למקצוע באותו אורך. משום כך יש יותר חבורות סימטריה אפשריות לשלד, על-פי הפירוט הבא.
# חבורת הסימטריות של ארבעון משוכלל היא <math>\ S_4</math> (אם חבורת הסימטריות מכילה את <math>\ A_4</math>, שהיא [[פעולה טרנזיטיבית|2-טרנזיטיבית]] על הקודקודים ולכן טרנזיטיבית בפעולה על המקצועות, הארבעון מוכרח להיות משוכלל).
# חבורת הסימטריות היא ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] <math>\ D_4</math> אם הארבעון הוא [[יתדון|יתדון טטרגונלי]], שבו ארבעה מקצועות שווי-אורך ועוד שניים, שאינם נפגשים, שגם שהם שווי-אורך. (הסימטריה הציקלית מסדר 4 מאלצת די שוויונות בין ארכי המקצועות כדי שהחבורה תהיה <math>\ D_4</math>).
# חבורת הסימטריות היא החבורה הסימטרית <math>\ S_3</math> כאשר הארבעון הוא [[פירמידה ישרה]] שבסיסה [[משולש שווה-צלעות]]. (גם כאן, סימטריה ציקלית מסדר 3 מאלצת את התכונות המקנות גם סימטריית שיקוף ועימה את החבורה <math>\ S_3</math>).
# חבורת הסימטריות היא [[חבורת הארבעה של קליין]], <math>\ K_4</math>, אם הארבעון הוא [[יתדון|יתדון רומבי]].
# חבורת הסימטריות היא <math>\ C_2 \times C_2</math>, מסדר 4, וכוללת שני חילופים המחליפים זוגות זרים של קודקודים, אם לארבעון יש ארבעה מקצועות שווי-אורך שאין ביניהם שלושה החולקים קודקוד משותף.
# חבורת הסימטריות היא <math>\ C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים).
# חבורת הסימטריות היא <math>\ C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם חילוף של זוג קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך הנפגשים בקודקוד משותף.
# בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות [[טריוויאלי]]ת.
=== סימטריות הסיבוב המרחביות ===
כל סימטריה של השלד אפשר לממש גם כסימטריה של המרחב כולו, אם מרשים בנוסף לסיבובים, גם לשקף את המרחב. פעולת השיקוף אינה ניתנת למימוש במציאות הפיזיקלית (בשל-כך יודע אדם בין ימינו לשמאלו). ללא שיקופים אפשר לממש רק תמורות זוגיות, ונותרות חמש אפשרויות:
# חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון משוכלל היא, כאמור, <math>\ A_4</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה ישרה]] שבסיסה [[משולש שווה-צלעות]] היא החבורה הציקלית <math>\ C_3</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של [[יתדון]] (רומבי או טטרגונלי) היא <math>\ K_4</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון בעל שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים) היא <math>\ C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים.
# בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות [[טריוויאלי]]ת.
== קוביית משחק ==
| |||