ארבעון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקנתי שגיעות תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
מ שוחזר מעריכות של 185.32.176.5 (שיחה) לעריכה האחרונה של Amirosan |
||
שורה 19:
הארבעון המשוכלל הוא [[פאון דואלי|דואלי]] לעצמו. כלומר: אם נסמן בכל אחת מפאותיו של ארבעון את הנקודה האמצעית, ונחבר את כל הנקודות הללו, נקבל ארבעון משוכלל.
== מיון הארבעונים על-פי הסימטריות שלהם ==
את הארבעונים אפשר למיין למשפחות, על-פי חבורת הסימטריות שלהם. זהו מיון בעל משמעות ב[[קריסטלוגרפיה]], שם ממיינים את ה[[סריג (מבנה גאומטרי)|סריגים]] ל[[סריגי בראבה|מחלקות בראבה]] ול[[מערכת גבישית|מערכות גבישיות]], בין השאר, על-פי [[חבורת סימטריות נקודתית|חבורת הסימטריות]] של [[תא יחידה|תא היחידה]] של הסריג.
=== הסימטריות של השלד ===
[[קובץ:Symmetry subgroups of S4.jpg|שמאל|ממוזער|250px|סריג תת-החבורות של <math>\ S_4</math>: עותק אחד מכל מחלקת צמידות. בשחור: תת-חבורות המופיעות כחבורות סימטריה של שלדי ארבעונים]]
הקודקודים והמקצועות של ארבעון מרכיבים את השלד החד-ממדי שלו, שהוא [[גרף (תורת הגרפים)|גרף]] שממנו אפשר לשחזר את המבנה הגאומטרי, התלת-ממדי. בסימטריות של השלד אפשר לבצע גם פעולות שאינן אפשריות בגוף צפיד, השקולות לשיקוף של המרחב: [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] של הקודקודים מהווה סימטריה של השלד, אם היא מעתיקה כל מקצוע למקצוע באותו אורך. משום כך יש יותר חבורות סימטריה אפשריות לשלד, על-פי הפירוט הבא.
# חבורת הסימטריות של ארבעון משוכלל היא <math>\ S_4</math> (אם חבורת הסימטריות מכילה את <math>\ A_4</math>, שהיא [[פעולה טרנזיטיבית|2-טרנזיטיבית]] על הקודקודים ולכן טרנזיטיבית בפעולה על המקצועות, הארבעון מוכרח להיות משוכלל).
# חבורת הסימטריות היא ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] <math>\ D_4</math> אם הארבעון הוא [[יתדון|יתדון טטרגונלי]], שבו ארבעה מקצועות שווי-אורך ועוד שניים, שאינם נפגשים, שגם שהם שווי-אורך. (הסימטריה הציקלית מסדר 4 מאלצת די שוויונות בין ארכי המקצועות כדי שהחבורה תהיה <math>\ D_4</math>).
# חבורת הסימטריות היא החבורה הסימטרית <math>\ S_3</math> כאשר הארבעון הוא [[פירמידה ישרה]] שבסיסה [[משולש שווה-צלעות]]. (גם כאן, סימטריה ציקלית מסדר 3 מאלצת את התכונות המקנות גם סימטריית שיקוף ועימה את החבורה <math>\ S_3</math>).
# חבורת הסימטריות היא [[חבורת הארבעה של קליין]], <math>\ K_4</math>, אם הארבעון הוא [[יתדון|יתדון רומבי]].
# חבורת הסימטריות היא <math>\ C_2 \times C_2</math>, מסדר 4, וכוללת שני חילופים המחליפים זוגות זרים של קודקודים, אם לארבעון יש ארבעה מקצועות שווי-אורך שאין ביניהם שלושה החולקים קודקוד משותף.
# חבורת הסימטריות היא <math>\ C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים).
# חבורת הסימטריות היא <math>\ C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם חילוף של זוג קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך הנפגשים בקודקוד משותף.
# בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות [[טריוויאלי]]ת.
=== סימטריות הסיבוב המרחביות ===
כל סימטריה של השלד אפשר לממש גם כסימטריה של המרחב כולו, אם מרשים בנוסף לסיבובים, גם לשקף את המרחב. פעולת השיקוף אינה ניתנת למימוש במציאות הפיזיקלית (בשל-כך יודע אדם בין ימינו לשמאלו). ללא שיקופים אפשר לממש רק תמורות זוגיות, ונותרות חמש אפשרויות:
# חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון משוכלל היא, כאמור, <math>\ A_4</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה ישרה]] שבסיסה [[משולש שווה-צלעות]] היא החבורה הציקלית <math>\ C_3</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של [[יתדון]] (רומבי או טטרגונלי) היא <math>\ K_4</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון בעל שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים) היא <math>\ C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים.
# בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות [[טריוויאלי]]ת.
== קוביית משחק ==
שורה 30 ⟵ 53:
* [[הבעיה השלישית של הילברט]]
== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Tetrahedron|שם ויקישיתוף=ארבעון|ויקימילון=ארבעון}}
* {{MathWorld}}
==הערות שוליים==
| |||