כפל – הבדלי גרסאות

נוספו 433 בתים ,  לפני שנתיים
מ
הגהה
מ (הגהה)
את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל ל[[מערכת מספרים|מערכות מספרים]] גדולות יותר: ב[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]] הכפל של השברים <math>\ \frac{a}{b}</math> ו- <math>\ \frac{c}{d}</math> הוא השבר <math>\ \frac{a\cdot c}{b \cdot d}</math>. ב[[שדה המספרים המרוכבים|מספרים המרוכבים]] הכפל נובע מן ה[[דיסטריבוטיביות]] ביחס לחיבור ומההנחה ש-<math>\ i\cdot i = -1</math> כי: <math>\ (a+bi)\cdot (c+di) = (a\cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i</math>.
 
ה[[שטח]] של [[מלבן]] מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב או כמכפלת הרוחב שלו באורך - בשתי הדרכים נקבל אותה תוצאה. באותו אופן אפשר להגדיר גם [[נפח]] של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה), ואף נפחים בממימד גבוה יותר.
 
ה[[מספר]]ים שמוכפלים נקראים "[[גורם|גורמים]]" או "מספרים נכפלים". כשכופלים, המספר המוכפל נקרא "מספר נכפל" והמספר של הכפולה נקרא "כופל" (למשל 4 כפול 3, ה-4 נקרא נכפל וה-3 נקרא כופל). באלגברה, המספר המכפיל [[משתנה]] (למשל 3 ב-3''xy''<sup>2</sup>) נקרא מקדם. הפעולה ההפוכה לכפל היא ה[[חילוק]]: אומרים ש-"a לחלק ל-b הם c" אם b כפול c שווה ל-a.
 
במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו [[חבורה למחצה]], [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]] או [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". אכן, כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.
 
==סימון ומונחים==
[[קובץ:Multiplication Sign.svg|ממוזער|180px|שמאל|סימנו של הכפל]]
 
את הכפל מסמנים בסימן "&times;" או בסימן "&middot;" בין הגורמים המוכפלים. לדוגמה, <math>2\times 3 = 6</math> (במילים, "שתי פעמים 3 שווה ל-6", או "שתיים כפול שלוש שווה ל-6"). לפי כללי [[קדימות אופרטורים]] הכפל קודם לחיבור ולחיסור בסדר הפעולות: <math>\ a\times b+c = (a\times b)+c</math>. הכפל הוא [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]], ולכן אין צורך להנחות באמצעות סוגריים בביטוי שיש בו כמה פעולות כפל: <math>\,1\times 2\times 3\times 4\times 5 = 120</math>. ב[[אלגברה]] משמיטים לפעמים את סימן הכפל כליל, ורישום [[משתנה|משתנים]] בסמיכות מייצג כפל שלהם (למשל XY שווה ל-X פעמים Y, ו-5X שווה לחמש פעמים X).
 
ב[[שפת תכנות|שפות תכנות]] רבות מסומנת פעולת הכפל ב[[כוכבית]] (כמו ב 2*5) מכיוון שהיא מופיעה בכל סוגי [[לוח מקשים|לוחות המקשים]]. החלה בכך שפת התכנות [[Fortran]].
* יש [[איבר יחידה]] ביחס לכפל, המספר [[1 (מספר)|1]]: <math>1\cdot x = x\cdot 1 = x</math>.
* חל חוק הצמצום על מספרים ששונים מ-0: אם <math>x\cdot y = x\cdot z</math> כאשר <math>x\ne 0</math>, אז <math>y=z</math>.
* לכל מספר שונה מ-0 יש [[מספר הופכי]]: לכל <math>x\ne 0</math> קיים <math>y</math> כך ש-<math>xy=1</math>.
* ביחס ל-0 מתקיים: <math>\ x \cdot 0 = 0 \cdot x = 0</math>.
* מתקיים [[חוק הפילוג]]: <math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>.
*כפל ב-[[-1|{{משמאל לימין|-1}}]] נותן את ה[[מספר נגדי|מספר הנגדי]]: <math>\, (-1)\cdot x = -x</math>.
* מכפלה של מספרים חיוביים היא מספר חיובי; הכפל במספר חיובי שומר על יחס הסדר (היחס >), בעוד שכפל במספר שלילי הופכתהופך את הסדר.
* לכל מספר שונה מ-0 יש [[מספר הופכי]]: לכל <math>x\ne 0</math> קיים <math>y</math> כך ש-<math>xy=1</math>. תכונה זו מתקיימת בכפל ב[[שדה המספרים הרציונליים]] וב[[שדה המספרים הממשיים]], אך אינה מתקיימת בכפל בקבוצת ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]] וב[[חוג המספרים השלמים]].
 
==לוח הכפל==