|
#הפניה [[אינפימום וסופרמום]]
[[קובץ:Illustration of supremum.svg|300px|ממוזער|איברי הקבוצה M (בכחול) חסומים מלעיל על ידי הנקודות החומות והנקודה הירוקה. הנקודה הירוקה היא החסם הקטן ביותר ולכן היא הסופרימום]]
'''אינפימום וסופרימום''' הם מושגי יסוד באנליזה מתמטית. אינפימום הוא ה[[חסם (מתמטיקה)|חסם]] מלרע הגדול ביותר של הקבוצה. סופרימום הוא החסם מלעיל הקטן ביותר של הקבוצה. אם <math>a</math> הוא האינפימום של A נסמן <math>inf(A) = a</math>. באופן דומה אם <math>a</math> הוא הסופרימום של הקבוצה <math>A</math> נסמן <math>sup(A) = a</math>.
המושגים אינפימום וסופרימום דומים במידת מעט למקסימום ומינימום. האינפימום עשוי להיות גם מינימום - [[אם ורק אם]] הוא שייך ל[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]. באופן דומה, נאמר על סופרימום שהוא מקסימום אם ורק אם הוא שייך לקבוצה. כמו כן אם לקבוצה A יש מקסימום אז הוא בהכרח סופרימום ואם לקבוצה יש מינימום אז הוא בהכרח אינפימום.
באנליזה אינפימום וסופרימום שימושיים יותר מאשר מינימום ומקסימום. כך למשל בקבוצת [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] [[מספרים חיוביים ושליליים|החיוביים]] (<math>\mathbb{R}_{\geq 0} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \right\}</math>) אין מינימום. זאת משום שניתן לחלק כל מספר בקבוצה ב[[מספר טבעי]] ובכך למצוא מספר ממשי קטן יותר אשר שייך לקבוצה. אף על פי כן קיים בדיוק אינפימום אחד והוא אפס. אפס קטן מכל מספרים הממשיים החיוביים וגדול יותר מכל מספר ממשי אשר יכול לשמש כגבול התחתון.
על פי [[אקסיומת השלמות]], לכל קבוצת מספרים ממשיים החסומה מלמעלה קיים סופרימום. מאקסיומה זו נובע גם כי לכל קבוצת מספרים ממשיים החסומה מלמטה קיים אינפימום. לפיכך לא לכל קבוצה יש בהכרח אינפימום או סופרימום. לדוגמה, קבוצת המספרים הממשים לא חסומה מלעיל ולא חסומה מלרע ולכן בפרט אין לה אינפימום או סופרימום.
== דוגמאות ==
=== אינפימום ===
*<math>\inf \{ 1,2,3,\ldots \} = 1</math>
*<math>\inf \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \} = 0</math>
*<math>\inf \{ x \in \mathbb{Q} \mid x^3 > 2 \} = \sqrt[3]{2}</math>
*<math>\inf \left\{ (-1)^n + \tfrac{1}{n} \mid n = 1,2,3,\ldots \right\} = -1</math>
=== סופרימום ===
*<math>\sup \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1\} = \sup \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 1\} = 1</math>
*<math>\sup \left\{ (-1)^n - \tfrac{1}{n} \mid n = 1,2,3,\ldots \right\} = 1</math>
*<math>\sup \{ a + b \mid a \in A, b \in B \} = \sup A + \sup B</math>
*<math>\sup \{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \} = \sqrt{2}</math>
== קישורים חיצוניים ==
* {{קישור כללי|הכותב=ד"ר [[אביב צנזור]]|כותרת=סופרמום ואינפימום|כתובת=https://www.youtube.com/watch?v=8UY3LQl529o|תאריך=[[12 באוקטובר]] [[2015]]|מידע נוסף=ערוץ ה[[יוטיוב]] של [[הטכניון]]}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
| 