אינפימום וסופרמום – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
[[קובץ:Illustration of supremum.svg|300px|ממוזער|איברי הקבוצה M (בכחול) חסומים מלעיל על ידי הנקודות החומות והנקודה הירוקה. הנקודה הירוקה היא החסם הקטן ביותר ולכן היא הסופרמום]]
'''אינפימום וסופרמום''' הם מושגי יסוד באנליזהב[[אנליזה מתמטית]]. אינפימום הוא ה[[חסם (מתמטיקה)|חסם]] מלרע הגדול ביותר של הקבוצה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] נתונה. סופרמום הוא החסם מלעיל הקטן ביותר של הקבוצה. אם <math>a</math> הוא האינפימום של A נסמן <math>inf(A) = a</math>. באופן דומה אם <math>a</math> הוא הסופרמום של הקבוצה <math>A</math> נסמן <math>sup(A) = a</math>.
 
המושגים אינפימום וסופרמום דומים במידת מעטמה למקסימום ומינימום. האינפימום עשוי להיות גם מינימום - [[אם ורק אם]] הוא שייך ל[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]לקבוצה. באופן דומה, נאמר על סופרמום שהוא מקסימום אם ורק אם הוא שייך לקבוצה. כמו כן אם לקבוצה A יש מקסימום אז הוא בהכרח סופרמום ואם לקבוצה יש מינימום אז הוא בהכרח אינפימום.
 
באנליזה אינפימום וסופרמום שימושיים יותר מאשר מינימום ומקסימום. כך למשל בקבוצת [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] [[מספרים חיוביים ושליליים|החיוביים]] (<math>\mathbb{R}_{\geq 0} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \right\}</math>) אין מינימום. זאת משום שניתן לחלק כל מספר בקבוצה ב[[מספר טבעי]] ובכך למצוא מספר ממשי קטן יותר אשר שייך לקבוצה. אף על פי כן קיים בדיוק אינפימום אחד והוא אפס. אפס קטן מכל מספרים הממשיים החיוביים וגדול יותר מכל מספר ממשי אשר יכול לשמש כגבול התחתון.