משפט דה מואבר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ניסוח, הגהה |
עריכה |
||
שורה 1:
'''משפט דה-מואבר''', שקרוי על שמו של [[אברהם דה-מואבר]] (Abraham de Moivre), קובע שלכל [[מספר ממשי]] <math>x</math> ולכל [[מספר שלם]] <math>n</math> מתקיים <math>\big(\cos (x) + i \sin (x)\big)^n = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>.
<math>\cos(x)</math> מייצג את הרכיב הממשי [[מספר מרוכב|במספר המרוכב]] <math>\ \cos(x)+i\sin(x)</math>, ו- <math>i\sin(x)</math> את הרכיב המדומה במספר זה. כלומר, חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת [[פונקציות טריגונומטריות|גדלים טריגונומטריים]] <math>\cos(nx)</math> ו-<math>\sin(nx)</math> כ[[פולינום|פולינומים]] ב- <math>\cos(x)</math> ו-<math>\sin(x)</math>, בהתאמה. כך למשל, <math>\cos(5x) = 16\cos(x)^5-20\cos(x)^3+5\cos(x)</math> - ראו [[פולינומי צ'בישב]]. את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]]. מן הזהות <math>\ [\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)] = \cos(x+y)+i\sin(x+y)</math>, השקולה ל[[זהות טריגונומטרית|זהויות הטריגונומטריות]] <math>\ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)</math> ו-<math>\ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)</math>.
[[אברהם דה מואבר|אברהם דה-מואבר]] היה חבר טוב של [[אייזק ניוטון]], בשנת [[1698]] הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-[[1676]]. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מ[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי <math>(e^{ix})^n = e^{i(nx)}</math>.
== הוצאת שורש מרוכב ==
ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם
המספר <math>\ \omega = B(\cos y+i\sin y)</math> (עם <math>\ 0< B</math>), הוא שורש מסדר n של z אם <math>\ \omega ^n = z</math>, כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, <math>\ B^n \cdot (\cos ny+i\sin ny) = A \cdot (\cos x+i\sin x)</math>. זה קורה בדיוק כאשר :
| |||