פונקציית גאוס – הבדלי גרסאות

אם נעבור לקואורדינטות פולריות, נקבל<math display="block">\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\cdot\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=(polar)=\int_0^\infty\int_0^{2\pi}r\cdot e^{-r^2}d\theta dr</math>

כעת המצב שלנו טוב יותר, שכן הפונקציה הפנימית נראית כמעט כמו <math>\frac{d}{dr} e^{-r^2}</math>. כלומר, נקבל <math>\int_0^\infty\int_0^{2\pi}r\cdot e^{-r^2}d\theta dr=-2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[e^{-r^2}\right]_0^\infty=\pi</math>

כעת, נתעניין בחישוב אינטגרל מסובך מעט יותר - <math>\int_{-\infty}^{\infty} a\,e^{-\left( x-b \right)^2/2c^2}\,dx</math>. על ידי ההצבה <math>x\mapsto x+b</math> ניתן להיפטר מאחד הגורמים. כמו כן ה<math>a</math> רק מוסיף פקטור מחוץ לאינטגרל. ההצבה הנוספת <math>x\mapsto \frac{y}{\sqrt{2}c},dy=dx\cdot\sqrt{2}c</math> תתן אינטגרל מהצורה שכבר פתרנו, עם פקטור נוסף של <math>\sqrt{2}\cdot c</math>. סה"כ קיבלנו <math>\int_{-\infty}^{\infty} a\,e^{-\left( x-b \right)^2/2c^2}\,dx=\sqrt{2} a \, \left\vert c \right\vert \, \sqrt{\pi}</math>.