השערת הרצף – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Math is love (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
מ תיקון כיווניות הערת שוליים |
||
שורה 7:
[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] היא דרך מדויקת להתייחס ל'גודל' של קבוצות אינסופיות. לשתי קבוצות [[קבוצות שקולות|יש אותה עוצמה]] אם קיימת [[פונקציה]] מהקבוצה הראשונה לשנייה, המתאימה כל איבר בזו לאיבר אחד ו[[חד-חד ערכית|יחיד]] בזו, כך [[התאמה על|שכל]] איבר בקבוצה השנייה מותאם לאיבר בראשונה. קנטור הראה כי עוצמתה של [[קבוצת המספרים הטבעיים]], שמסומנת <math>\aleph_0</math>, היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. עוצמתה של קבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], המכונה [[עוצמת הרצף]] ומסומנת <math>\ \aleph</math> (או <math>\ c</math>), שווה לעוצמה של קבוצת כל הקבוצות של המספרים הטבעיים, אותה מסמנים ב- <math>\ 2^{\aleph_0}</math>. קנטור הראה באמצעות שיטת [[האלכסון של קנטור|האלכסון]] שפיתח, כי העוצמה <math>\ 2^{\aleph_0}</math> גדולה יותר מ- <math>\ \aleph_0</math>.
אף על פי שניסה, לא הצליח קנטור לבנות קבוצה שעוצמתה גדולה מ- <math>\ \aleph_0</math> וקטנה מ-
בשנת [[1935]] פיתח [[קורט גדל]] את מושג ה[[אקסיומת הבנייה|קבוצות הניתנות לבנייה]], ושנתיים אחר-כך, ב-[[1937]], הוא מצא דרך להיעזר במושג הזה כדי לפתור באופן חלקי את השערת הרצף: גדל הראה שאם מניחים שתורת הקבוצות (בניסוח המקובל שלה, [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]] ובתוספת [[אקסיומת הבחירה]]) [[עקביות_(לוגיקה)|עקבית]], אז ה[[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] הכוללת בנוסף את השערת הרצף כאקסיומה, גם היא עקבית. מצד שני, בשנת [[1963]] הוכיח [[פול כהן]] שגם הוספת אקסיומה השוללת את השערת הרצף מביאה למערכת עקבית, ולכן השערת הרצף [[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|עצמאית]] במסגרת תורת הקבוצות - אין אפשרות להוכיח אותה או את שלילתה על פי האקסיומות של תורה זו. כדי להוכיח משפט זה פיתח פול כהן את שיטת ה[[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] (Forcing).
=== גרסאות שקולות
ב-1943 הוכיחו [[פאול ארדש]] ושיזו קקוטני{{הערה|On non-denumerable graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 49, (1943). 457–461.|שמאל=כן}} שהשערת הרצף נכונה [[אם ורק אם]] אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מניה של קבוצות, שכל אחת מהן היא [[תלות (אלגברה ליניארית)|קבוצה בלתי תלויה]] מעל הרציונליים. תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מניה של צבעים, כך שלמשוואה <math>\ w+x=y+z</math> לא קיים פתרון במספרים ממשיים שווי-צבע ושונים.
== עוצמות ביניים ==
השערת הרצף נחקרת בין השאר באמצעות עוצמות מוגדרות, שערכן תלוי במערכת האקסיומות. כמה עוצמות כאלה מוגדרות באמצעות המבנה של אוסף תת-הקבוצות האינסופיות של המספרים הטבעיים. למשל, אומרים שתת-קבוצה אינסופית A '''מפצלת''' תת-קבוצה אינסופית B, אם גם החיתוך וגם ההפרש B-A הם אינסופיים. האינווריאנט <math>\ \mathfrak{s}</math> מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות, שיש בו חבר המפצל כל תת-קבוצה אינסופית נתונה. האינווריאנט <math>\ \mathfrak{r}</math> מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות שאין אף תת-קבוצה אינסופית המפצלת את כולן. ברור ש-<math>\ \aleph_0 \leq \mathfrak{r},\mathfrak{s} \leq 2^{\aleph_0}</math>. יש מודל של ZFC שבו <math>\ \aleph_1 = \mathfrak{r} < \mathfrak{s} = \mathfrak{c} = \aleph_2</math>.
==השערת הרצף המוכללת==
'''השערת הרצף המוכללת''' (GCH) אומרת שבין עוצמה אינסופית <math>\ |S|</math> לעוצמת [[קבוצת החזקה]] <math>\ 2^{|S|}</math> (הגדולה ממנה לפי [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]]), אין אף עוצמות אחרות.
השערת הרצף המוכללת חזקה די הצורך לגרור גם את [[אקסיומת הבחירה]]{{הערה|[http://www.maa.org/news/monthly544-553.pdf מאמר המתאר את ההוכחה שהשערת הרצף המוכללת גוררת את אקסיומת הבחירה (אנגלית)]}}. ההוכחה מתבססת על [[מספר הרטוג|מספרי הרטוג]].
השערת הרצף המוכללת מתקיימת במודל [[L (תורת הקבוצות)|הקבוצות הניתנות לבנייה]] ולכן במובן מסוים "קל" להראות את העקביות שלה. בנוסף, עבור מודל התחלתי כלשהו של ZFC, קיימת [[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] שמובילה למודל שמקיים את השערת הרצף.
ב[[קופינליות|מונים סדירים]], '''משפט איסטון''' מראה כי ניתן באמצעות כפייה להפר את השערת הרצף כרצוננו כאשר האילוצים היחידים שצריכים להתקיים הם:
| |||