הבדלים בין גרסאות בדף "מספר משוכלל"

נוספו 295 בתים ,  לפני חודשיים
אין תקציר עריכה
(קישור לערך ראשי במקום לדף הפניה)
== היסטוריה ==
 
ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים. [[אוקלידס]] היה הראשון שהבחין שכל המספרים האלה תואמים לתבנית <math>\ 2^{n-1}\left(2^n-1\right)</math>, כאשר <math>\left(2^n-1\right)</math> הוא [[מספר ראשוני]] (ההוכחה לכך שכל מספר מצורה זו הוא אכן משוכלל מובאת בהמשך).
 
רק בשנת [[1356]] התגלה המספר המשוכלל החמישי, הוא 33,550,336, שגם הוא תואם לנוסחה של אוקלידס (עם n=13).
 
כדי ש־<math>\left(2^n-1\right)</math> יהיה ראשוני, נדרש שגם n עצמו יהיה ראשוני. מספרים ראשוניים מן הצורה הזו נקראים [[מספר מרסן|מספרי מרסן]] ראשוניים, על-שמו של ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפת]]י [[מרן מרסן]] (Marin Mersenne), שהודיע - בטעות - על מציאת מספרים משוכללים חדשים בשנת [[1644]].
 
[[לאונרד אוילר]] הראה שכל מספר משוכלל זוגי מתאים לתבנית שמצא אוקלידס. השאלה האם קיימים אינסוף מספרים משוכללים זוגיים, או לחלופין האם קיימים אינסוף מספרי מרסן ראשוניים, עודנה פתוחה.
 
 
בשנת 1952 החלו להיעזר ב[[מחשב]]ים לשם מציאת מספרים משוכללים ובאותה שנה כבר נודעו 17 מספרים שכאלה. מאז ממשיך החיפוש ביתר שאת בעזרת [[מחשב-על|מחשבי-על]] ובעזרת [[חישוב מבוזר קהילתי]], וכיום (2016) ידועים כבר 49 מספרים משוכללים.{{הערה|10 המספרים המשוכללים הראשונים הם:{{ש}}
2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176{{ש}}
191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216{{ש}}
}}{{הערה|[http://www.mersenne.org/ אתר החיפוש אתר מספרי מרסן] דרכו נמצאו מספרי מרסן הגדולים ביותר הידועים היום}} החיפוש הוא אחר ראשוניי-מרסן, שמהם נוצרים מספרים משוכללים זוגיים בלבד, ולכן אין בו כדי לסייע בתשובה לשאלת הקיום של מספרים משוכללים אי-זוגיים.
החיפוש הוא אחר ראשוניי-מרסן, שמהם נוצרים מספרים משוכללים זוגיים בלבד, ולכן אין בו כדי לסייע בתשובה לשאלת הקיום של מספרים משוכללים אי-זוגיים.
 
מספר משוכלל הוא מספר המקיים את המשוואה <math>\ \sigma(n) = 2n</math> כאשר <math>\ \sigma</math> היא [[פונקציה אריתמטית|פונקציית סכום המחלקים]]. מספרים שעבורם <math>\ \sigma(n) < 2n</math> נקראים [[מספר חסר|מספרים חסרים]], ואלו שעבורם <math>\ \sigma(n) > 2n</math> נקראים [[מספר שופע|מספרים שופעים]].
 
הראשון מחכמי ישראל שמזכיר מספרים משוכללים, הוא הפילוסוף היהודי [[פילון האלכסנדרוני]] שכתב, בהתבסס על פילוסופיה יוונית, על מספרים וחשיבותם בסיפור [[בריאת העולם (יהדות)|בריאת העולם]].{{הערה|אלעד פילר, "תיאור הבריאה על ידי פילון לאור תורת המספרים הניאופיתגוראית", '''[[דעת: כתב-עת לפילוסופיה יהודית וקבלה]]''', תשס"ח, עמ' 5–25.}} לדעתו המספרים המשוכללים הם ביטוי לשלמות, ומשום כך נברא העולם בשישה ימים. גם רבי [[אברהם אבן עזרא]] הזכיר מספרים אלה בפירושו לתורה ({{תנ"ך|שמות|ג|טו|קצר=כן}}), הוא מכנה אותם "מספרים שווים".
 
== הנוסחה למציאת מספרים משוכללים ==
== ההוכחה של אוקלידס ==
 
נתוןמספרים שהמספרמשוכללים רבים הם מהצורה <math>\ 2^{n-1}\left(2^n-1\right)</math> ראשוני, שנסמן מעתה באותעבור <math>\,pn</math>. עלינו להוכיח שהמספרכך ש-<math>(2^{n-1})\cdot p</math> הוא מספר משוכללראשוני. להלן הוכחה לכך שכל המספרים מהצורההזו הם אכן משוכללים:
 
נתון שהמספר <math>\left(2^n-1\right)</math> ראשוני, שנסמן מעתה באות <math>\,p</math>. עלינו להוכיח שהמספר <math>2^{n-1}\cdot p</math> הוא מספר משוכלל.
 
ראשית נמצא את כל מחלקיו של המספר (מלבד המספר עצמו):
 
<math>\{1,2,4,8,\ldots,2^{n-1}\}\cup \{,p,2p,4p,8p,\ldots,2^{n-2}\cdot p\}</math>
 
כעת נראה כי סכום איברים אלה שווה למספר עצמו. נחשב את המספר כך:
<math>1+2+4+8+\ldots+2^{n-1}+(1+2+4+8+\ldots+2^{n-2})\cdot p</math>
 
ומאחר שסכום כל חזקות ה-2 עד <math>\,m</math> כלשהו שווה ל:<math>\!\, 2^{m+1}-1</math> (זהומכיוון שזהו סכום של [[סדרה הנדסית]]), ניתן לכתוב סכום זה כך:
 
<math>2^n-1+(2^{n-1}-1)\cdot p=p+(2^{n-1}-1)\cdot p=(2^{n-1})\cdot p</math>
 
וזהו בדיוק המספר המקורי, ובכך הושלמה ההוכחה.
 
== מספרים משוכללים זוגיים ==
== הוכחת אוילר ==
 
בערך 2000 שנה בערך אחרי אוקלידס עשה המתמטיקאי [[לאונרד אוילר]] צעד משמעותי, כאשר הוכיח שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח מן הצורה המתוארת לעיל.
 
2000 שנה בערך אחרי אוקלידס עשה המתמטיקאי [[לאונרד אוילר]] צעד משמעותי, כאשר הוכיח שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח מן הצורה המתוארת לעיל.
'''הוכחה''':
 
נניח ש-<math>\,n</math> הוא מספר משוכלל זוגי. ניתן לרשום את <math>\,n</math> כך: <math>\,n = 2^{k-1}m </math> כאשר <math>\ k>1</math> ו-<math>\,m</math> הוא מספר אי זוגי; בפרט, הוא [[מספרים זרים|זר]] ל- <math>\ 2^{k-1}</math>.
 
בין המחלקים של m אפשר למנות לפחות את <math>\ M</math> ואת <math>\ m</math> עצמו (השונים זה מזה), ולכן <math>\ 2^kM=\sigma(m)\geq m+M=2^kM</math>. מכאן שאי-השוויון החלש הוא למעשה שוויון, ולכן <math>\ m</math> ו-<math>\ M</math> הם המחלקים היחידים של <math>\ m</math>; אבל 1 מחלק את <math>\ m</math>, ולכן <math>\ M=1</math>. הוכחנו כי <math>\ m=2^k-1</math>, והוא ראשוני.
 
== מספרים משוכללים אי-זוגיים ==
 
באשר למספרים משוכללים אי-זוגיים, לא ידוע האם קיים ולו אחד כזה. שאלת קיומם היא כנראה הבעיה המתמטית הפתוחה העתיקה ביותר שטרם הוכרעה, והיא רמוזה ב[[יסודות (ספר)|יסודות]] שכתב ה[[מתמטיקאי]] [[אוקלידס]] בראשית [[המאה ה-3 לפנה"ס|המאה השלישית לפנה"ס]]. כן ידוע שלמספר משוכלל אי-זוגי (אם קיים) יש לפחות 1,500 ספרות עשרוניות, לפחות 101 גורמים ראשוניים (כולל כפילויות - גורמים ראשוניים החוזרים כמה פעמים) ולפחות 9 גורמים ראשוניים שונים זה מזה, גורם ראשוני הגדול ביותר, גדול מ-100,000,000, גורם שהוא חזקת ראשוני הגדול מ-<math>\ 10^{12}</math> (ב.י. מושקאט, 1966), גורם ראשוני שני בגודלו, הגדול מ-10,000 (P. Hagis Jr., 1980), גורם ראשוני שלישי בגודלו, הגדול מ-100, ומספר מחלקים [[אי זוגי]] .