טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תיקון קישור |
Nitayderei (שיחה | תרומות) הרחבה תגיות: לבדיקה נוספת עריכה חזותית |
||
שורה 22:
=== חישוב בעזרת סיכום רמנוג'אן ===
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
ניתן לחשב טור זה בעזרת סכימת רמנוג'אן<ref>{{צ-מאמר|שם=Ramanujan summation|קישור=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ramanujan_summation&oldid=933662304|כתב עת=Wikipedia|שנת הוצאה=2020-01-02}}</ref>.הנוסחה היא
<math>\frac{f(0)}{2} + \sum_{n=1}^\infin f(n) = i\int^\infin_0 \frac{ f(it)-f(-it) }{e^{2\pi t} - 1} dt</math>
נשים לב שאם נבחר <math>f(n) = n</math>, נקבל את הטור הרצוי. לכן, נקבל
<math>\sum_{n=1}^\infin {n} = i\int^\infin_0 \frac{2it}{e^{2\pi t} - 1}</math>
בעזרת הצבה <math>u=2\pi t</math>, נקבל
<math>i\int^\infin_0 \frac{2it}{e^{2\pi t} - 1} = -\frac{1}{2\pi ^2} \int_0^\infin \frac{u}{e^u - 1}du</math>
את האינטגרל ניתן לחשב בכמה צורות, אבל נזהה שהוא שווה ל<math>\zeta (2)</math><ref>{{קישור כללי|כתובת=http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Riemann Zeta Function באתר MathWorld, נוסחה 1|אתר=mathworld.wolfram.com|תאריך=|שפה=en|תאריך_וידוא=2020-01-18}}</ref>, שווה ל-<math>\frac{\pi ^2}{6}</math><ref>{{צ-מאמר|שם=Particular values of the Riemann zeta function|קישור=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Particular_values_of_the_Riemann_zeta_function&oldid=931864349|כתב עת=Wikipedia|שנת הוצאה=2019-12-21}}</ref>. לאחר הצבת הערך נקבל את הסכום הרצוי:
<math>1+2+3+ \dots = \sum_{n=1}^\infin n = -\frac{1}{12}</math>
== קישורים חיצוניים ==
| |||