פונקציונל – הבדלי גרסאות

בעבר פונקציונל הוגדר כפונקציה שהתחום שלה הוא מרחב פונקציות, כלומר פונקציה שפועלת על פונקציות. הרקע להגדרה זו הוא המחקר המוקדם באנליזה פונקציונלית שעסק במרחבי פונקציות. שימוש זה במונח "פונקציונל" עדיין נפוץ ב[[פיזיקה]] וב[[מדעי המחשב]]. לאחר שאומצה גישה [[אקסיומה|אקסיומטית]] כללית לאנליזה פונקציונלית ומרחבי פונקציות זוהו כמקרה פרטי של מרחבים נורמיים, המובן של פונקציונל הפך להיות כללילכללי יותר.

[[משפט ההצגה של ריס]] מסייע להבנת המבנה של המרחב הדואלי. למשפט כמה גרסאות, והיסודית שבהן קובעת כי מעל [[מרחב הילברט]], כל הפונקציונלים החסומים הם מכפלה פנימית עם איבר. כלומר, אם <math>\ f</math> הוא פונקציונל חסום מעל מרחב הילברט, אז קיים <math>\ y</math> במרחב כך ש-<math>\ f(x)=\langle x,y\rangle</math>. במקרה זה לא קשה לראות מ[[אי שוויון קושי שוורץ]] כי <math>\ \| f\|=\|y \|</math> (כאשר הנורמה משמאל היא נורמה אופרטורית והנורמה מימין היא הנורמה המתקבלת מהמכפלה הפנימית).