אינטגרל לבג – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
החלפות (, ), הסרת קישורים עודפים, עיצוב הערת שוליים |
הקישור היה שם לפני, אני רק חושב שראוי לסיים עם נקודה. |
||
שורה 1:
'''אינטגרל לבג''' הוא הכללה של [[אינטגרל|אינטגרל רימן]] ל[[פונקציה מדידה|פונקציות מדידות]] שפותחה על ידי המתמטיקאי [[אנרי לבג]] במסגרת מחקרו ב[[תורת המידה]]. אינטגרל לבג מתבסס על [[מידת לבג]] המוגדרת מעל [[שדה המספרים הממשיים|הישר הממשי]]. לכל [[פונקציה]] שהיא '''אינטגרבילית רימן''' (המושג יוגדר להלן) אינטגרל לבג קיים, וערכו זהה לערכו של אינטגרל רימן.
באינטגרל לבג מחושב השטח באמצעות ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של הפונקציה ולא באמצעות התחום שלה. היתרון בגישה זו הוא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה יותר ו"פתולוגית" פחות מתחום ההגדרה של הפונקציה. כלומר, עבור פונקציות שתחום ההגדרה שלהן מסובך והתמונה שלהן פשוטה, ניתן לעיתים לחשב את אינטגרל לבג אך לא את אינטגרל רימן, ולעיתים ניתן לחשב את אינטגרל רימן הלא אמיתי אך לא את לבג. [http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/gauge/venn.gif]
== מבוא ==
[[קובץ:Integral as region under curve.png|ממוזער|שמאל|250px|עבור פונקציות חיוביות, האינטגרל הוא השטח הכלוא מתחת לעקומה של הפונקציה.]]
[[אינטגרל|אינטגרציה]] היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כחישוב ה[[שטח]] הכלוא בין ה[[גרף של פונקציה|עקומה]] לבין ציר ה־X. [[ארכימדס]] הצליח לבצע אינטגרציה במקרים מסוימים אחדים, אך לא פיתח שיטה כללית לאינטגרציה. ב[[המאה ה-17|מאה ה-17]] פיתחו [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] (כל אחד בנפרד) שיטה לביצוע אינטגרציה, המבוססת על כך שאינטגרציה היא הפעולה ההפוכה ל[[נגזרת|גזירה]]. את תוצאתם ניסחו ב[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|משפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]], המתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת, ונותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות. שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על ה[[גאומטריה]], אלא על [[חשבון אינפיניטסימלי]] - תחום שבתקופתם לא היה מבוסס מבחינה לוגית. כך, ההוכחות שכתבו לא היו [[ריגורוזי]]ות והכילו סתירות (ראו גם: [[אינפיניטסימל]]).
ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] פיתח [[אוגוסטין לואי קושי]] תורה ריגורוזית של [[גבול (מתמטיקה)|גבולות]] והעניק בסיס מוצק ל[[חשבון אינפיניטסימלי]]. [[ברנהרד רימן]] לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן ריגורוזי, הגדרה שנודעה כ'''[[אינטגרל#האינטגרל המסוים לפי רימן|אינטגרל רימן]]'''. רימן חילק את השטח שמתחת לעקומה ל[[מלבן|מלבנים]] קטנים, שרוחבם קטן באופן שרירותי וגובהם תלוי בערכה של הפונקציה בתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן. אינטגרל רימן הוא [[גבול (מתמטיקה)|גבול]] סכום שטח המלבנים כאשר רוחב המלבן שואף ל[[0 (מספר)|אפס]].
כלומר:
: <math>\ J_{\mbox{Riemann}} = \lim_{\Delta x \to 0}{ \sum{f(x_i) \Delta x}}</math>
שורה 24 ⟵ 23:
באופן פורמלי, ראשית מקרבים את הפונקציה <math>\ f</math> על ידי סדרה של [[פונקציה פשוטה|פונקציות פשוטות]] (פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר סכום של [[פונקציית מדרגה|פונקציות מדרגה]]). הסדרה נבנית כך שהקירוב של <math>\ f</math> הולך ומשתפר. אינטגרל לבג של פונקציה פשוטה הוא סכום סופי והוא קל לחישוב. האינטגרל של <math>\ f</math> ייקבע כגבול של האינטגרלים של הפונקציות הפשוטות, כאשר הוא קיים. את תהליך הבנייה נפרט להלן.
כלומר, כל פונקציה חסומה ואינטגרבילית רימן היא אינטגרבילית לפי הגדרת לבג. למעשה, אינטגרל לבג קיים לכל ה[[פונקציה מדידה|פונקציות המדידות]]. זו אומנם מחלקה רחבה יותר מהפונקציות שהן אינטגרביליות רימן, אך קיימות פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי לבג. לפונקציות אינטגרבילית הן לפי רימן והן לפי לבג ישנו ערך זהה לשני סוגי האינטגרלים. כמו כן, ערכו של אינטגרל לבג זהה לערך אינטגרל רימן גם ברוב המקרים של [[אינטגרל לא אמיתי|אינטגרלים לא אמיתיים]] אך לא בכולם - למשל באינטגרלים שאינם מתכנסים בהחלט כמו אינטגרל דיריכלה
. [[אינטגרל הנסטוק]] הוא כללי יותר משני סוגי האינטגרלים, וממנו אפשר להסיק גם את אינטגרל רימן וגם את אינטגרל לבג. == בניית אינטגרל לבג ==
שורה 36:
כאשר <math>\,E</math> היא התחום עליו מתבצעת האינטגרציה, והוא מתוך תחום ההגדרה של <math>\,f</math>. עבור פונקציה פשוטה הטווח הוא סופי, ולכן הסכום סופי. כך, כל עוד <math>\ m \left( f^{-1}(y) \cap E \right) < \infty </math> ו-<math>\,f</math> מקבלת ערכים סופיים בלבד, הסכום יתכנס. במקרה בו <math>\ m \left( f^{-1}(y) \cap E \right) = \infty </math> ו-<math>\ y=0</math> מכפלת שניהם מוגדרת להיות אפס.
מכיוון ש-<math>\ f </math> מקבלת רק מספר סופי של ערכים, אפשר להציגה כ-<math>\ f(x)= \sum_{k=1}^{n} y_k \cdot 1_{A_k}(x) </math>,
כש-<math>\ y_k </math> הוא ערך שהפונקציה מקבלת, <math>\ A_k </math> הוא הקבוצה שעליה הוא מתקבל, ו-<math>\ 1_{A_k}(x) </math> הוא הסימון ל[[פונקציה מציינת]] של <math>\,A_k</math>. כך, מההגדרה לעיל אינטגרל לבג של הפונקציה <math>\ f </math> לפי המידה <math>\ m </math> יהיה <math>\ \int_{E}{f dm} = \sum_{k=1}^{n} y_k \cdot m(A_k \cap E) </math>.
עבור [[פונקציה פשוטה]] רציפה למקוטעין, הגדרה זו מתלכדת עם אינטגרל רימן ומתקבלת אותה התוצאה. היתרון בגישה זו הוא שהשימוש ב[[מידה (מתמטיקה)|מידה]] מתייחס לכל המלבנים שהם בעלי גובה <math>\ y_k </math> כמאוחדים למלבן אחד, שאורך בסיסו הוא <math>\ m(A_k \cap E) </math>. בפונקציה המקורית, מלבנים בעלי אותו גובה יכולים להיות מפוזרים לאורך כל תחום ההגדרה ולא להיות בדבוקה אחת. ניתן לפזר את המלבנים באופן שהגבול של אינטגרל רימן לא קיים עבורם. ברם, באינטגרל לבג, כאשר האורך הכולל של בסיסי כל המלבנים שגובהם הוא <math>\ y</math> מחושב באמצעות [[מידת לבג]] - מידת הפיזור איננה משנה, אלא רק המידה הכוללת. פונקציית המידה "חזקה" מאוד ויכולה לטפל בקבוצות פתולוגיות כגון [[קבוצת קנטור]], קבוצת כל המספרים ה[[מספר אי-רציונלי|אי-רציונליים]] וכדומה.
שורה 48:
<center>
<math>
f(x) = \left\{\begin{matrix}
0 & \mbox{if } x\in\mathbb Q \\
a & \mbox{if } x \notin \mathbb Q \end{matrix}\right.
</math>
שורה 60:
=== הכללה לפונקציות מדידות אי-שליליות כלשהן ===
לפונקציות אלה, ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] איננה בהכרח סופית. ההכללה של אינטגרל לבג עבורן מתבצעת על ידי [[קירוב]] הפונקציה באמצעות [[סדרה מונוטונית]] של פונקציות פשוטות, חישוב האינטגרל עבור הפונקציות הפשוטות ומעבר ל[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] תוצאות האינטגרל. באופן פורמלי, בהינתן סדרת פונקציות פשוטות אי-שליליות <math>\ \phi_n</math> [[התכנסות במידה שווה|המתכנסת במידה שווה]] ובאופן [[מונוטוניות|מונוטוני]] ל-<math>\ f</math>, אינטגרל לבג על <math>\ f</math> יוגדר להיות גבול האינטגרלים על סדרה זו.
הגדרה שקולה, אך פשוטה יותר ונוחה יותר: תהי <math>\ f: X \to \mathbb{R}_{+}</math> [[פונקציה מדידה]] ואי-שלילית. נגדיר את אינטגרל לבג של <math>\ f</math> להיות <math>\ L = \int_{E}{ f d m} = \sup{ \left\{ \int_{E}{ \phi d m} \ : \ \phi \le f \ , \ \phi \ \mbox{is simple} \right\} }</math>.
=== הכללה לפונקציות מדידות כלשהן ===
כדי לטפל בפונקציה שיכולה להיות גם חיובית וגם שלילית, מחלקים את הפונקציה לשני חלקים:
* <math>\ f_{+}(x) = \max \{ f(x) , 0 \}</math>
* <math>\ f_{-}(x) = \max \{ 0 , -f(x) \}</math>
כך, מתקיים ש:
* <math>\ f = f_{+} - f_{-}</math>
שורה 78:
== תכונות אינטגרל לבג ==
באופן כללי, אינטגרל לבג מקיים את כל התכונות של אינטגרל רימן בנוגע לאלגברה של אינטגרלים. בנוסף לתכונות אלה מתקיימות גם מספר תכונות מיוחדות, הנובעות מ[[תורת המידה]] ומהשימוש במידה להגדרת האינטגרל.
* אינטגרל לבג של [[פונקציה מציינת]] של קבוצה מדידה <math>\,A</math> הוא המידה של <math>\,A</math>, כלומר: <math>\ \int{ 1_A\, d m} = m(A) </math>.
* אינטגרל לבג לא מושפע משינויים שנעשים על הפונקציה בקבוצת נקודות ש[[מידה אפס|מידתה אפס]].
:באופן פורמלי, אם <math>\,f</math> ו-<math>\,g</math> נבדלות זו מזו רק על קבוצת נקודות שמידתה אפס, כלומר:
:אם <math> m(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\}) = 0 </math>, אזי <math>\ \int_E f \ dm= \int_E g \ dm</math>.
* [[אלגברה ליניארית|ליניאריות]]:
: אם <math>\,f</math> ו-<math>\,g</math> פונקציות מדידות ו <math>\alpha , \beta \in \mathbb{R}</math> [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרים]], אזי
:<math>\ \int_E (\alpha f + \beta g) d m= \alpha \int_E f \ dm + \beta \int_E g \ dm </math>
* [[פונקציה מונוטונית|מונוטוניות]] ביחס לפונקציה:
: אם <math>\ f(x) \le g(x)</math> לכל <math>\,x</math> אזי <math>\ \int f \ dm\leq \int g \ dm</math> .
* [[אדיטיביות]] ביחס לתחום האינטגרציה:
: אם <math>\,A</math> ו-<math>\,B</math> [[קבוצות זרות]], אזי <math>\ \int_{A \biguplus B}{f \ dm} = \int_A{f \ dm} + \int_B{f \ dm} </math> .
* [[אי-שוויון המשולש האינטגרלי]] :
שורה 102 ⟵ 103:
{{ויקישיתוף בשורה}}
* מארק שוורצמן, [https://archive.today/20130802194715/http://www.muchado.gadial.net/?p=15 אינטגרל לבג על קצה המזלג], באתר "מהומה רבה על לא דבר"
[[קטגוריה:תורת המידה]]
| |||