משפט הערך הממוצע של לגראנז' – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת {{תב|ויקישיתוף בשורה}} בקישורים חיצוניים במידה וחסר (תג)
שורה 11:
'''משפט הערך הממוצע''': תהי <math>\ f</math> פונקציה רציפה בקטע הסגור <math>\left[a,b\right]</math> וגזירה בקטע הפתוח <math>\left(a,b\right)</math>. אז קיימת נקודה <math>c\isin (a,b)</math> שעבורה <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>.
 
'''הוכחה''': תהא <math>\ k(x)=f(ax)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math> נוסחת הקו הישר שעובר דרך הנקודות <math>\ (a,f(a))</math> ו-<math>\ (b,f(b))</math>. זוהי פונקציה רציפה וגזירה בכל מקום, שנגזרתה קבועה, <math>k'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,</math>.
 
אנו מעוניינים להראות כי הנגזרת של <math>\ f</math> שווה, בנקודה מתאימה, לשיפוע של הישר המיוצג על ידי <math>\ k</math>, כלומר ל-<math>\ k'</math>. לשם כך נשתמש ב[[משפט רול]] על פונקציה חדשה, שהיא ההפרש בין <math>\ f</math> ו-<math>\ k</math>. הסיבה לכך היא שאנו מעוניינים להוכיח שקיימת נקודה שבה שתי הנגזרות שוות זו לזו, כלומר, נגזרת ההפרש היא 0.