חבורת אוילר – הבדלי גרסאות

כאשר p ראשוני אי זוגי, חבורת אוילר <math>\ U_p</math> היא ציקלית. לדוגמה, החבורה <math>\ U_{13}</math> נוצרת על ידי 2. לעובדה שתמיד קיימים יוצרים קטנים יחסית של החבורה יש חשיבות רבה ב[[מבחן ראשוניות|מבחני ראשוניות]]. טענה זו, על הציקליות של <math>\ U_p</math>, היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר - תת-חבורה כפלית, סופית, של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] היא תמיד ציקלית. כדי להוכיח את הטענה, יש להבחין כי למשוואה <math>\ x^d=1</math> יש (בשדה) לכל היותר d פתרונות; מצד שני, אם d מחלק את p-1, אז הפולינום <math>\ x^{d}-1</math> מחלק את הפולינום <math>\ x^{p-1}-1</math>, וכך אפשר לראות שלמשוואה יש בדיוק d פתרונות. אם <math>\ r_d</math> יסמן את מספרם של המספרים שסדרם שווה ל- d, אפשר להוכיח באינדוקציה על d את השוויון <math>\ r_d=\phi(d)</math>.