משפט ערך הביניים – הבדלי גרסאות

הוסר בית אחד ,  לפני שנתיים
מ
אומרים ש[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> ניחן ב'''תכונת ערך הביניים''' אם לכל פונקציה [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] <math>f: X \to \mathbb{R}</math>, לכל <math>a,b\in X</math> ולכל <math>t</math> בין <math>f(a)</math> ל-<math>f(b)</math>, קיים <math>c\in X</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>. או בנוסח אחר, לכל <math>f: X \to \mathbb{R}</math> רציפה, <math>f(X)</math> הוא קטע. זוהי תכונה טופולוגית, היא נשמרת תחת [[הומיאומורפיזם]]. משפט ערך הביניים אומר שכל קטע הוא מרחב עם תכונת ערך הביניים.
 
מרחב ניחן בתכונת ערך הביניים [[אם ורק אם]] הוא [[מרחב קשיר]] - מרחב שאינו איחוד זר של שתי [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]] לא ריקות (אינטואיטיבית, זהו מרחב העשוי מ"חתיכה אחת"). אם מרחב אינו קשיר, אז ניתן להציגו כאיחוד זר של קבוצות פתוחות לא ריקות <math>A</math> ו-<math>B</math> , ואז הפונקציה
<math>
f(x)= \left\{\begin{matrix}