אקסיומות ההסתברות – הבדלי גרסאות

# <math>\ P(\Omega)=1</math>. דרישה זו נובעת מכך שאנו מצפים שלפחות אחד מהאירועים הבסיסיים ש[[מרחב מדגם|במרחב המדגם]] יתקיים תמיד, בכל ניסוי שנערוך.

# לכל [[סדרה]] <math>\ E_1,E_2,\dots</math> שאיבריה מקיימים <math>\ E_i\cap E_j=\emptyset</math> לכל <math>\ i\ne j</math> מתקיים <math>\ P(\biguplus_{i=1}^\infty E_i)=\sum_{i=1}^\infty P(E_i)</math>. תכונה זו מכונה '''סיגמא-אדיטיביות''' ופירושה שבהינתן אוסף [[קבוצה בת מניה|בן מניה]] של מאורעות זרים, ההסתברות של איחודם (כלומר, ההסתברות שיתרחש אחד מהאירועים הבסיסיים שבהם) שווה לסכום של ההסתברויות שלהם בנפרד.

 

==תוצאות הנובעות מהאקסיומות==

 

 

#תוצאה מיידית מהאקסיומות היא שעבור מאורע <math>\ E</math> כלשהו מתקיים <math>\ P(E^C)=1-P(E)</math>. כלומר, ההסתברות שהמאורע לא יתקיים (ולכן [[משלים (תורת הקבוצות)|משלימו]] ביחס ל- <math>\ \Omega</math> יתקיים) שווה 1 פחות ההסתברות שהוא כן יתקיים. כדי להיווכח בתכונה זו די לראות כי <math>\ E\cap E^C=\emptyset,E\cup E^C=\Omega</math> ולכן על פי האקסיומות השנייה והשלישית נקבל <math>\ 1=P(\Omega)=P(E\cup E^C)=P(E)+P(E^C)</math>.

:כדי לראות תכונה זו נשים לב כי <math>\ P(A\cup B)=P\left((A-A\cap B)\cup(B-A\cap B)\cup(A\cap B)\right)</math> וזהו איחוד זר.

:כעת נקבל: <math>\ P(A\cup B)=P(A)-P(A\cap B)+P(B)-P(A\cap B)+P(A\cap B)</math> ומכאן קיבלנו את התוצאה.