ויקיפדיה

אקסיומות ההסתברות – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ הוספת התוצאה של חיסור
שורה 14:
מהאקסיומות הללו נובעות מספר תוצאות שימושיות. רובן הן תכונות כלליות של [[פונקציית מידה]] ואפשר למצוא פירוט עליהן [[מידה (מתמטיקה)#תכונות של מידה|כאן]], אך חלקן ייחודיות להסתברות.
 
#*תוצאה מיידית מהאקסיומות היא שעבור מאורע <math>\ E</math> כלשהו מתקיים <math>\ P(E^C)=1-P(E)</math>. כלומר, ההסתברות שהמאורע לא יתקיים (ולכן [[משלים (תורת הקבוצות)|משלימו]] ביחס ל- <math>\ \Omega</math> יתקיים) שווה 1 פחות ההסתברות שהוא כן יתקיים. כדי להיווכח בתכונה זו די לראות כי <math>\ E\cap E^C=\emptyset,E\cup E^C=\Omega</math> ולכן על פי האקסיומות השנייה והשלישית נקבל <math>\ 1=P(\Omega)=P(E\cup E^C)=P(E)+P(E^C)</math>.
#*תוצאה שימושית:נוספת מהאקסיומות היא שלכל שני מאורעות <math>\ A\subseteq B</math> מתקיים <math>\ P(B-A) = P(A - B) + -P(A \cap B)</math>.
:כדי לראות זאת נשים לב כי <math>\ (B-A)\cup(A)\cup(B^C)=\Omega</math> וזהו [[איחוד זר]]. לכן:
#תוצאה נוספת מהאקסיומות היא שלכל שני מאורעות (לא בהכרח זרים) <math>\ A,B</math> יתקיים <math>\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math>. תוצאה זו ידועה בשם "עקרון ההכלה וההפרדה".▼
:<math>\ 1=P(\Omega)=P(B-A)+P(A)+P(B^C)=P(B-A)+P(A)+1-P(B)</math> ולאחר העברת אגפים נקבל את התוצאה המבוקשת.
*תוצאה שימושית: <math>\ P(A) = P(A - B) + P(A \cap B)</math>.
▲#*תוצאה נוספת מהאקסיומות היא שלכל שני מאורעות (לא בהכרח זרים) <math>\ A,B</math> יתקיים <math>\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math>. תוצאה זו ידועה בשם "עקרון ההכלה וההפרדה".
:כדי לראות תכונה זו נשים לב כי <math>\ P(A\cup B)=P\left((A-A\cap B)\cup(B-A\cap B)\cup(A\cap B)\right)</math> וזהו איחוד זר.
:כעת נקבל: <math>\ P(A\cup B)=P(A)-P(A\cap B)+P(B)-P(A\cap B)+P(A\cap B)</math> ומכאן קיבלנו את התוצאה.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/אקסיומות_ההסתברות"