אלגברת סי כוכב – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ טופולוגים->טופולוגיים - תיקון תקלדה בקליק
מ טופולוגים->טופולוגיים - תיקון תקלדה בקליק
שורה 22:
את אוסף כל הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על ''X'' נסמן ב<math>\,C_0(X)</math>. ניתן להוכיח שזוהי אלגברת סי-כוכב, כאשר פעולות החיבור והכפל הן חיבור וכפל רגילים של פונקציות ופעולת הכוכב היא הצמדה של מספרים מרוכבים. בפרט, פעולת הכפל היא קומוטטיבית. לאלגברת סי כוכב שבה פעולת הכפל היא קומוטטיבית קוראים '''אלגברת סי כוכב קומוטטיבית'''.
 
משפט הייצוג של גלפנד קובע כי בהינתן אלגברת סי כוכב קומוטטיבית ''A'' קיים מרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי באופן מקומי ''X'' כך ש<math>\,A \cong C_0(X)</math>. נוסף על כך ניתן להוכיח שאם ''X'' ו''Y'' הם שני מרחבים טופולוגיםטופולוגיים אז ''X'' [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל''Y'' אם ורק אם האלגברה <math>\,C_0(X)</math> איזומורפית לאלגברה <math>\,C_0(Y)</math>. מסיבה זאת ניתן לזהות מרחבים טופולוגים "סבירים" (כלומר שהם האוסדורף וקומפקטיים באופן מקומי) עם אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות, ולפיכך ניתן לראות באלגבראות סי כוכב כלליות הכללה למושג מרחב טופולוגי, ועקב החוסר בקומוטטיביות, נהוג לקרוא להן מרחבים טופולוגיים לא קומוטטיביים.
 
חלקים נרחבים מהפיתוח של אלגבראות סי כוכב מתבססים על הכללה של שיטות טופולוגיות למרחבים שאינם קומוטטיביים. לעיתים ההכללה למרחבים לא קומוטטיביים היא למעשה פשוטה יותר ובכך מפשטת שיטות טופולוגיות קלאסיות. לדוגמה, [[תורת K]] של מרחבים טופולוגיים נותנת אינווריאנטה אלגברית (ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] <math>\,K_0(X)</math> ו-<math>\,K_1(X)</math>) למרחבים טופולוגים על ידי שקילויות בין [[אגד וקטורי|אגדים וקטורים]] (שהם אובייקט מסובך יחסית) מעליהם. הכללתה של תורת-''K'' לאלגבראות סי כוכב מתבצעת על ידי מחלקות שקילות של הטלות (במקרה של חבורת <math>\,K_0</math>) או של איברים אוניטריים (במקרה של חבורת <math>\,K_1</math>) באלגבראות סי כוכב. איבר <math>\,a \in A</math> באלגברת סי כוכב נקרא '''הטלה''' אם הוא מקיים <math>\,a=a^2=a^*</math>. איבר <math>\,a \in A</math> באלגברת סי כוכב נקרא ''אוניטרי'' אם הוא מקיים <math>\,aa^* = a^*a = 1</math>.