משוואה ממעלה שלישית – הבדלי גרסאות

כדי למצוא את שורשי משוואה (1), עלינו להיפטר בראש ובראשונה מהביטוי הריבועי <math>x^{2}</math>, באמצעות ההצבה הבאה:

 

 

כעת נקבל:

(3) <math>a(y-\frac{b}{3a})^{3}+b(y-\frac{b}{3a})^{2}+c(y-\frac{b}{3a})+d=0</math> .

 

 

(4) <math>ay^{3}+\left (c-\frac{b^{2}}{3a} \right )y+\left (d+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a} \right )=0</math> .

משוואה מספר (4) נקראת "'''משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית'''"{{הערה|באנגלית: Depressed cubic equation.}} כיוון שהמקדם של <math>y^{2}</math>, שווה 0 (אפס). הבאת המשוואה לצורתה המנוונת מקלה על פתרונה ומציאת שורשיה.

 

 

נקבל את המשוואה:

 

'''הסבר אודות הפתרונות שיתקבלו:'''{{ש}}

כלומר, בסך הכל יתקבלו ששה ערכי z (כמצופה)- עבור משוואה (9)- שהיא ממעלה שישית. אבל, בחוזרנו אחורה למשוואה מספר (6), נקבל מכל שורש של z - שורש של y.{{ש}}

כלומר, נקבל ששה פתרונות של y.{{ש}}

'''כעת, נפתור את המשוואה הזו בצורתה הפולרית'''.

 

 

<math>\ e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} </math>{{ש}}לכל <math>\ \theta</math> [[מספר ממשי|ממשי]], כאשר <math>e</math> הוא [[בסיס הלוגריתם הטבעי]] ו-<math>i</math> הוא [[היחידה המדומה]].{{ש}}{{ש}}