התפלגות ברנולי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
למשל, בהטלת קובייה תקינה תסומן התוצאה 6 כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון. ההסתברות לנפילה על 6 בקובייה תקינה היא 1/6, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא 5/6. בדוגמה זו ה[[משתנה מציין|משתנה המציין]] את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר p=1/6.
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ה[[התפלגות בינומית|התפלגות הבינומית]]. סכום של <math>\ n</math> משתני ברנולי [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, <math>\ B(n,p)</math> (ובפרט ההתפלגות <math>\ B(1,p)</math> היא התפלגות ברנולי).
== תכונות ==
אם <math>X</math> הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:
:<math>\Pr(X=1) = p = 1 - \Pr(X=0) = 1 - q.</math>
[[פונקציית הסתברות]] <math>f</math> של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:
:<math> f(k;p) = \begin{cases}
p & \text{if }k=1, \\
q = 1-p & \text {if } k = 0.
\end{cases}</math>
צורה אקביוולנטית לביטוי זה היא:
:<math>f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k} \quad \text{for } k\in\{0,1\}</math>
או:
:<math>f(k;p)=pk+(1-p)(1-k) \quad \text{for } k\in\{0,1\}.</math>
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור <math>n = 1.</math>
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של <math>p,</math>. עבור ערכי <math>0 \le p \le 1</math> ההתפלגות יוצרת [[משפחה מעריכית]] ומדד הנראות המירבית של <math>p</math> עבור דגימה אקראית הוא ממוצע הדגימה.
== תוחלת ==
ה[[תוחלת]] של משתנה מקרי <math>X</math> המתפלג ברנולי היא:
<math>\mathbb{E}[X]= p</math>
זאת משום שעבור<math>X</math> בו <math>\Pr(X=1)=p</math> יחד עם <math>\Pr(X=0)=1-p</math> יוצא:
:<math>\mathbb{E}[X] = \Pr(X=1)\cdot 1 + \Pr(X=0)\cdot 0
:= p \cdot 1 + (1-p)\cdot 0 = p.</math>
==קישורים חיצוניים==
| |||