חבורה אבלית נוצרת סופית – הבדלי גרסאות

***בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים: <math>\ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_{3^2}\oplus\mathbb{Z}_5

,\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5</math>

*כל חבורה אבלית חופשית נוצרת סופית איזומורפית ל-<math>\ \mathbb{Z}^r</math> עבור <math>\ r>0</math> מסוים שהוא גודל קבוצת היוצרים שלה. קל לראות את האיזומורפיזם במקרה זה: כל אחד מיוצרי החבורה עובר ליוצר של אחד מעותקי <math>\ \mathbb{Z}</math>.

*אוסף הנקודות הרציונליות על [[עקום אליפטי]] עם פעולה מתאימה מהווה, על פי [[משפט מורדל-וייל]], חבורה אבלית נוצרת סופית ולכן המשפט חל עליו. עבור חבורה זו יש חשיבות גדולה לדרגה של החלק החופשי, כלומר ל-<math>\ r</math> שבחלק <math>\ \mathbb{Z}^r</math> של החבורה. השערה מפורסמת ב[[תורת המספרים]] בשם [[השערת בירץ' וסווינרטון-דייר]] היא ש-<math>\ r</math> שווה לסדר האפס של [[פונקציה מרוכבת]] מסוימת המותאמת לעקום, בנקודה <math>\ s=1</math>.