שיטת פרובניוס – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
David Astro (שיחה | תרומות)
מ David Astro העביר את הדף משתמש:David Astro/טיוטה לשם David Astro: סיום עריכה
David Astro (שיחה | תרומות)
תיקונים בהגדרות מתמטיות וסידור פסקאות.
שורה 3:
== תקציר ==
במתמטיקה, כאשר מעוניינים לפתח פתרון של [[משוואה דיפרנציאלית רגילה|משוואה דיפרנציאלית רגילות]] (מד"ר) מסדר שני, סביב נקודה סינגולרית, ישנם מספר דרכים להגיע לפתרון. בפתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, אחת השיטות הנפוצות ביותר היא פיתוח טורי חזקות סביב נקודה <math>x_{0}</math> בה אנו מעוניינים. כאשר מעוניינים בפיתוח טור חזקות סביב נקודה שהיא סינגולרית רגולרית (רגילה) במערכת המשוואות שלנו, נשתמש בשיטת פרובניוס, הקרויה על שם פרדיננד גאורג פרובניוס - מתמטיקאי גרמני מן המאה ה 19. פרובניוס, בוגר אוניברסיטת ברלין, כתב את תזת הדוקטורט שלו על משוואות דיפרנציאליות והמנחה הדוקטורט שלו היה לא אחר מאשר [[קארל ויירשטראס|קארל תיאודור וילהלם ויירשטראס]] הנודע, בין היתר, [[משפטי ויירשטראס|במשפטי ויירשטראס]] ונחשב לאבי האנליזה המודרנית.
 
== היסטוריה ==
בלה בלה בלה
 
== נקודות סינגולריות רגילות ==
שורה 58 ⟵ 55:
נבדיל בין ארבעה מקרים על מנת לקבוע את צורת הפתרון:
 
# אם <math>s_1,\ s_2\in\mathbb{R}</math> וגם <math>s_1-s_2\not\in\mathbb{Z}</math> -
<math>\begin{alignat}{2} y_1=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+s_1} \\ \\ y_2=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^{n+s_2} \end{alignat}</math> <br />
#אם <math>s_1,\ s_2\in\mathbb{R}</math> וגם <math>s_1-s_2\in\mathbb{Z}</math> -
 
<math>\begin{alignat}{2} y_1=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+s_1} \\ \\ y_2=k \cdot{\ln\left\vert x \right\vert}y_1 + \sum_{n=0}^{\infty}b_nx^{n+s_2} \end{alignat}</math> כאשר <math>k=0,\ 1</math> כאשר פותרים [[פונקציית בסל]] (Bessel), נתבונן בסדר המשוואה <math>\upsilon</math>. אם <math>\upsilon\in \mathbb{Z}</math> שלם, k=1. אם לא <math>\upsilon\not\in \mathbb{Z}</math>, k=0. <br />
# אם <math>s_1=s_2,\equiv Ss_2\in\mathbb{R}</math> וגם <math>s_1-s_2\in\mathbb{Z}</math>
 
<math>\begin{alignat}{2} y_1=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+Ss_1} \\ \\ y_2=k \cdot{\ln\left\vert x \right\vert}y_1 + \sum_{n=10}^{\infty}b_nx^{n+Ss_2} \end{alignat}</math> נשיםכאשר לב<math>k=0,\ 1</math> כאשר פותרים [[פונקציית בסל]] שכאן(Bessel), בפתרוןנתבונן שלבסדר המשוואה <math>y_2\upsilon</math>,. הסכוםאם מתחיל<math>\upsilon\in מ-\mathbb{Z}</math> שלם, <math>nk=1</math>. ולאאם מ-לא <math>n=0\upsilon\not\in \mathbb{Z}</math>. , <br math>k=0</math>.
# אם <math>s_1,\ =s_2\in\mathbb{C}</math> וגםequiv <math>s_1=\bar{s_2}S</math> -
 
<math>\begin{alignat}{2} Uy_1=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+s_1S} \qquad\ V\\ y_2={\ln\left\vert x \right\vert}y_1 + \sum_{n=01}^{\infty}b_nx^{n+s_2S} \end{alignat}</math> <brנשים /לב שכאן, בפתרון של <math>y_2</math>y_1=Re(U)=\frac{U, +הסכום \bar{U}}{2}מתחיל מ- <math>n=1</math> ולא <brמ- /<math>n=0</math>\begin{alignat}{2} .
# אם <math>s_1,\ s_2\in\mathbb{RC}</math> וגם <math>s_1-s_2=\in\mathbbbar{Zs_2}</math>, כאשר <math>s_{1,2}=x\pm iy</math> -
 
<math>\begin{alignat}{2} y_1U=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+s_1} \\ \\qquad y_2V=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^{n+s_2} \end{alignat}</math> <br />
 
<math>y_1=Re(U)=\frac{U + \bar{U}}{2}</math>
 
<math>\begin{alignat}{2}
y_2 = Re(V)=\frac{V + \bar{V}}{2}
\end{alignat}</math> או <math>\begin{alignat}{2}
y_2 = Im(U)=\frac{U - \bar{U}}{2i}
\end{alignat}</math>
\end{alignat}</math> <br />כאשר <math>s_{1,2}=x\pm iy</math>. נזכור - אם נקבל שגם <math>s_1</math> וגם <math>s_2</math> [[מספר מרוכב|מרוכבים]], יש בפתרון טעות!
 
 
* פונקציית הלוגריתם הטבעי <math>\ln(x)</math> בפתרון השני מבטיח ששתי הפתרונות, <math>y_1</math> ו- <math>y_2</math>, יהיו בת"ל.
 
== ראה גם ==