שיטת פרובניוס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
David Astro (שיחה | תרומות) מ David Astro העביר את הדף משתמש:David Astro/טיוטה לשם David Astro: סיום עריכה |
David Astro (שיחה | תרומות) תיקונים בהגדרות מתמטיות וסידור פסקאות. |
||
שורה 3:
== תקציר ==
במתמטיקה, כאשר מעוניינים לפתח פתרון של [[משוואה דיפרנציאלית רגילה|משוואה דיפרנציאלית רגילות]] (מד"ר) מסדר שני, סביב נקודה סינגולרית, ישנם מספר דרכים להגיע לפתרון. בפתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, אחת השיטות הנפוצות ביותר היא פיתוח טורי חזקות סביב נקודה <math>x_{0}</math> בה אנו מעוניינים. כאשר מעוניינים בפיתוח טור חזקות סביב נקודה שהיא סינגולרית רגולרית (רגילה) במערכת המשוואות שלנו, נשתמש בשיטת פרובניוס, הקרויה על שם פרדיננד גאורג פרובניוס - מתמטיקאי גרמני מן המאה ה 19. פרובניוס, בוגר אוניברסיטת ברלין, כתב את תזת הדוקטורט שלו על משוואות דיפרנציאליות והמנחה הדוקטורט שלו היה לא אחר מאשר [[קארל ויירשטראס|קארל תיאודור וילהלם ויירשטראס]] הנודע, בין היתר, [[משפטי ויירשטראס|במשפטי ויירשטראס]] ונחשב לאבי האנליזה המודרנית.
== נקודות סינגולריות רגילות ==
שורה 58 ⟵ 55:
נבדיל בין ארבעה מקרים על מנת לקבוע את צורת הפתרון:
# אם <math>s_1,\ s_2\in\mathbb{R}</math> וגם <math>s_1-s_2\not\in\mathbb{Z}</math> -
<math>\begin{alignat}{2} y_1=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+s_1} \\ \\ y_2=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^{n+s_2} \end{alignat}</math> <br />▼
#אם <math>s_1,\ s_2\in\mathbb{R}</math> וגם <math>s_1-s_2\in\mathbb{Z}</math> - ▼
<math>\begin{alignat}{2} y_1=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+s_1} \\ \\ y_2=
# אם <math>s_1
<math>\begin{alignat}{2} y_1=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+
# אם <math>s_1
<math>\begin{alignat}{2}
▲# אם <math>s_1,\ s_2\in\mathbb{
▲<math>\begin{alignat}{2}
<math>y_1=Re(U)=\frac{U + \bar{U}}{2}</math>
<math>\begin{alignat}{2}
y_2 = Re(V)=\frac{V + \bar{V}}{2}
\end{alignat}</math>
y_2 = Im(U)=\frac{U - \bar{U}}{2i}
\end{alignat}</math>
* פונקציית הלוגריתם הטבעי <math>\ln(x)</math> בפתרון השני מבטיח ששתי הפתרונות, <math>y_1</math> ו- <math>y_2</math>, יהיו בת"ל.
== ראה גם ==
|