אינטגרל רימן – הבדלי גרסאות

[[קובץ:Integral_as_region_under_curve.svg|שמאל|ממוזער| האינטגרל כשטח של אזור תחת עקומה. ]]

[[קובץ:Riemann_integral_regular.gif|שמאל|ממוזער| רצף של סכומי רימן עבור חלוקות משתנות של מרווחים. המספר מעלה הינו השטח הכולל של המלבנים, שמתכנס לאינטגרל של הפונקציה. ]]

[[קובץ:Riemann_integral_irregular.gif|שמאל|ממוזער| החלוקה של המקטעים אינה צריכה להיות אחידה, כפי שמוצג כאן. הקירוב תקף כל עוד רוחב של כל חלוקה נוטה לאפס. ]]

בענף [[מתמטיקה|המתמטיקה]] הידוע [[אנליזה ממשית|כאנליזה ממשית]], '''אינטגרל רימן''', שנוצר על ידי [[ברנהרד רימן]], היה ההגדרה הראשונית של [[אינטגרל]] [[פונקציה|כפונקציה]] של [[קטע (מתמטיקה)|אינטרוול]] . רעיון הוצג בפני הפקולטה ב[[אוניברסיטת גטינגן|באוניברסיטת גטינגן]] בשנת 1854, אך לא פורסם בכתב עת עד שנת 1868. <ref>The Riemann integral was introduced in Bernhard Riemann's paper "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). This paper was submitted to the University of Göttingen in 1854 as Riemann's ''Habilitationsschrift'' (qualification to become an instructor). It was published in 1868 in ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen'' (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, pages 87-132. (Available online [https://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87 here].) For Riemann's definition of his integral, see section 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), pages 101–103.</ref> עבור פונקציות רבות ויישומים פרקטיים, ניתן להעריך את אינטגרל רימן על ידי [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] או לבצע קירוב באמצעות [[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים|שיטות נומריות]] .

אינטגרל רימן אינו מתאים לשימוש תיאורטיתאורטי. קיימת שיטה מקבילה, בעלת דיוקיים טכנים שמגשרת מעל החסרונות הטכניים באינטגרציה של רימן בעזרת [[ אינטגרל של רימן –סטילטג'ס |אינטגרל רימן –סטילטג'ס]], ורובם נעלמים בשיטת [[אינטגרל לבג|אינטגרל לבג,]], למרות שלאחרון אין טיפול מספק באינטגרלים בלתי-מסויימיםמסוימים. [[אינטגרל הנסטוק]] הוא הכללה של אינטגרל לבג שדומה יותר לאינטגרל רימן. תיאוריות כלליות יותר מאפשרות טיפול בפונקציות "משוננות" יותר או "מתנודדות מאוד" מה שאינטגרל רימן אינו מספק; אך התיאוריות נותנות ערך זהה לאינטגרל של רימן כאשר הוא קיים.

תהיי {{Mvar|f}} להיות פונקציה אי-שלילית בעלת ערך [[שדה המספרים הממשיים|ממשי]] במרווח [a, b], ויהיי

להיות האזור מתחת לגרף הפונקציה {{Mvar|f}} ומעל המרווח [a, b] (ראו את האיור בצד ימין למעלה). אנו מעוניינים למדוד את שטח {{Mvar|S}}. לאחר שנמדוד את השטח, נסמן את האזור על ידי:

הרעיון הבסיסי השיטת של רימן הוא להשתמש בקירובים פשוטים מאוד לאזור {{Mvar|S}} על ידי קירובים מלבניים שקטנים לפי החלוקה, אנו יכולים לומר כי "בגבול" (כאשר מספר המלבנים שאנו מודדים גדך לאינסוף) אנו מקבלים בדיוק את שטח {{Mvar|S}} מתחת לגרף.

נבחין כי {{Mvar|f}} יכול להיות חיובי ושלילי כאחד, ההגדרה של {{Mvar|S}} משתנה כך שהאינטגרל תואם את ''האזור התחום'' מתחת לגרף של {{Mvar|f}} : כלומר, האזור שמעל ציר {{Mvar|x}} מינוס השטח שמתחת לציר {{Mvar|x}} .

חלוקה של מקטע [a, b ] היא רצף סופי של מספרים מהצורה

כל <math>[''x_i'', ''x''_{''i'' + 1}]</math> נקרא '''תת-מקטע''' של החלוקה. '''האורך''' או '''הנורמה''' של מקטע מוגדר כאורכו של התת-מקטע הארוך ביותר, כלומר

: <math>\max \left(x_{i+1}-x_i\right), \quad i \in [0,n-1].</math>

תהיי {{Mvar|f}} פונקציה ממשית על המקטע [a, b ] . ''סכום רימן'' של {{Mvar|f}} ביחס לחלוקה המיוצגת על <math>''x''₀, ..., ''x_n''</math> יחד עם <math>''t''₀, ..., ''t_n-1''</math> הוא <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books/about/Real_Analysis_and_Foundations.html?id=OI-0vu1rb7MC&pg=PA173|title=Real Analysis and Foundations|last=Krantz|first=Steven G.|publisher=CRC Press|year=1991|page=173|author-link=Steven G. Krantz}}</ref>

כל איבר בסכום הוא מכפלת הערך של הפונקציה בנקודה נתונה עם אורך המרווח. כתוצאה מכך, כל איבר מייצג את האזור של מלבן בעל גובה <math>''f''(''t_i'')</math> ורוחב <math>x_{i+1} - x_i</math>. סכום רימן הוא סכום של כל המלבנים.

מושגים הקשורים זה לזה הם ''סכומי דרבו התחתונים והעליונים''. אלה דומים לסכומי רימן, אך ערך הפונקציה בנקודה <math>t_i</math> מוחלף על ידי [[אינפימום וסופרמום]] (בהתאמה) של {{Mvar|f}} בכל תת-מרווח: