שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←אינטגרלים של חזקות של פונקציות טריגונומטריות: ניסוח יותר ברור |
|||
שורה 83:
== אינטגרלים של חזקות של פונקציות טריגונומטריות ==
כל [[פונקציות טריגונומטריות|פונקציה טריגונומטרית]] שהיא
{| class="wikitable"
שורה 90:
!נוהל
!זהות עזר
|-▼
|<math>n=1</math>
|▼
* החלפת משתנה <math>\xi=\sin(x)</math>:
* נשתמש בהחלפת המשתנה ובזהות העזר כדי לקבל:
<math>\int \sin^m (x) \cos (x) dx = \int \xi^m d\xi = \frac{\xi^{m+1}}{m+1} = \frac{\sin^{m+1}(x)}{m+1}</math>
|<math>d(\sin (x)) = \cos (x)dx</math>
|-
|<math>m=1</math>
|
* החלפת משתנה <math>\xi=\cos(x)</math>:
* נשתמש בהחלפת המשתנה ובזהות העזר כדי לקבל:
<math>\int \sin (x) \cos^n (x) dx = \int -\xi^n d\xi = -\frac{\xi^{n+1}}{n+1} = -\frac{\cos^{n+1}(x)}{n+1}</math>
|<math>d(\cos (x)) = -\sin (x)dx</math>
|-
|לפחות <math>\begin{vmatrix} n \end{vmatrix}</math> אי זוגי
|
* הפרדת גורם של <math>\cos (x)</math>:
<math>\cos^n (x)= \cos^{n-1}(x) \cos(x)</math>
* נשתמש בזהות העזר ובהפרדה כדי
<math>\sin^m(x)\cos^n(x) = \sin^m(x)(1-\sin^2(x))^k \cos(x)</math> (כאשר <math>k=\frac{n-1}{2}</math> שלם כי <math>\begin{vmatrix} n \end{vmatrix}</math> אי זוגי).
* קיבלנו סכום של ביטויים מהצורה <math>\sin^m (x) \cos (x)</math> ועל ידי ההצבה <math>\xi=\sin(x)</math> והעברת האינטגרל למשתנה החדש, ניתן לפתור על פי המקרה <math>n=1</math>
|<math>\cos^2 (x)=1- \sin^2 (x)</math>
|-
שורה 105 ⟵ 124:
* הפרדת גורם של <math>\sin (x)</math>:
<math>\sin^m (x)=\sin(x) \sin^{m-1}
* נשתמש בזהות העזר ובהפרדה כדי
<math>\sin^m(x)\cos^n(x) = \sin(x)(1-\cos^2(x))^k \cos^n(x)</math> (כאשר <math>k=\frac{m-1}{2}</math> שלם כי <math>\begin{vmatrix} m \end{vmatrix}</math> אי זוגי).
* קיבלנו סכום של ביטויים מהצורה <math>\sin (x)\cos^n(x)</math> ועל ידי ההצבה <math>\xi=\cos(x)</math> והעברת האינטגרל למשתנה החדש, ניתן לפתור על פי המקרה <math>m=1</math>
|<math> \sin^2 (x)=1-\cos^2 (x)</math>
|-
|<math>\begin{vmatrix} n \end{vmatrix}</math> אי זוגי▼
<math>\begin{vmatrix} m \end{vmatrix}</math> אי זוגי▼
|
|-
|<math>\begin{vmatrix} n \end{vmatrix}</math> זוגי
שורה 121 ⟵ 147:
<math>\sin (x) \cos (y)= \frac{\sin(x+y)}{2}+\frac{\sin(x-y)}{2}</math>
▲|-
▲|<math>\begin{vmatrix} n \end{vmatrix}</math>אי זוגי
▲<math>\begin{vmatrix} m \end{vmatrix}</math>אי זוגי
▲|ניתן לבחור באיזו דרך מבין שתי הדרכים הראשונות לפתור
▲|
|}
| |||