חבורת גלואה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה |
|||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], ובפרט ב[[תורת גלואה]], '''חבורת גלואה''' של [[הרחבת שדות]] <math> \ E / F</math> היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] [[אוטומורפיזם|האוטומורפיזמים]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|השדה]] <math> \ E</math>, המעבירים כל איבר של [[שדה (מבנה אלגברי)|השדה]] <math> \ F</math>
[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] זו נקראת על שם [[אווריסט גלואה]], אבי [[תורת החבורות]].
שורה 7:
== הגדרה ==
יהי <math>\ F</math> שדה, ותהי <math> \ E / F </math> [[הרחבת שדות]]. חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ E / F </math> המסומנת ב-<math> \ \operatorname{G} \left(E / F \right) </math>, <math>\operatorname{Aut} \left(E / F \right)</math> או ב-<math> \ \operatorname{Gal} \left(E / F \right) </math> מוגדרת להיות
<math> \ \operatorname{G} \left(E / F \right) = \{\sigma \in \operatorname{Aut} \left( E \right) | \sigma (x) = x; \forall x \in F \}</math>
שורה 19:
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{C} / \mathbb{R} </math> היא קבוצה המכילה שני איברים: את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]], ואת [[צמוד מרוכב|העתקת ההצמדה]]. זאת מאחר שאם <math> \sigma </math> בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים <math> \sigma\left(i^2 + 1 \right) = \sigma(i)^2 + 1 = 0 </math>. לכן <math>\sigma(i) \in \{ -i, i \}</math>. לכן מתקיים לכל <math>a,b \in \mathbb{R}</math> כי <math>\ \sigma(a + bi) = \sigma(a) + \sigma(b) \sigma(i) = a + b \cdot \sigma(i)</math>. במעבר האחרון השתמשנו בכך ש<math>\ \sigma</math> משאירה את איברי <math>\mathbb{R}</math> במקום. לכן <math> \sigma\left(a + bi\right) = a + bi</math> או <math> \sigma\left(a + bi\right) = a - bi</math>.
*באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) / \mathbb{Q} </math> מכילה שני איברים: [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]], והעתקת ההצמדה: <math> \sigma\left(a + b\sqrt{2}\right) = a - b\sqrt{2}</math>
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{R} / \mathbb{Q} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]]. יתרה מזאת, [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math> \ \mathbb{R} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]]. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב ש[[אוטומורפיזם]] של <math> \ \mathbb{R} </math> מעביר כל [[מספר חיובי]] ל[[מספר חיובי]], מאחר ש-<math> \ \sigma(a^2) = \sigma(a)^2</math> ולכן שומרת על יחס סדר.
*תהי <math> \ F / \mathbb{Q}</math> [[הרחבת שדות]]. אזי חבורת הגלואה של <math> \ F / \mathbb{Q}</math> היא [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ F</math>, כלומר <math> \ \operatorname{Aut}\left(F\right)</math>. זאת מאחר ש[[הומומורפיזם]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] מעביר את [[מספר שלם|המספרים השלמים]] לעצמם, ולכן גם את [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] לעצמם.
*יהי <math>\ p</math> [[מספר ראשוני]], ותהי <math> \ K / \mathbb{F}_p</math> הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של <math> \ K / \mathbb{F}_p</math> היא [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ K</math>, כלומר <math> \ \operatorname{Aut}\left(K\right)</math>.
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) / \mathbb{Q} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]]. זאת מאחר שאם <math>\sigma</math> בחבורה, מתקיים <math> \sigma\left(\sqrt[3]{2}^3 - 2 \right) = \sigma(\sqrt[3]{2})^3 - 2 = 0 </math>. לכן בהכרח <math>\sigma\left(\sqrt[3]{2}\right) = \sqrt[3]{2}</math>. מאחר ש-<math>\{1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2 \} </math> [[בסיס (אלגברה)|בסיס]], נובע כי <math>\sigma</math> היא בהכרח [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]].
== שדה השבת ==
יהי <math>\ E</math> [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]. תהי <math> \ G \le \operatorname{Aut}\left(E\right)</math>
<math>E^G = \{ x \in E | \forall \sigma \in G : \sigma(x) = x \}</math>
כלומר, שדה השבת של <math>\ G</math> הוא קבוצת כל האיברים מהשדה <math>\ E</math>
קל לבדוק שזהו אכן [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]. מתקיים כי אם <math>\ E / F</math> [[הרחבת שדות]] ו-<math>\ G = \operatorname{G}\left(E/F\right)</math> אז <math>F \le E^G</math>.
שורה 39:
*אם ההרחבה <math> \ E / F </math> [[ממד (אלגברה ליניארית)|מממד סופי]], מתקיים כי <math>\ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| \le \left[E:F\right]</math>, כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
*השוויון <math>\ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| = \left[E:F\right]</math> מתקיים [[אם ורק אם]] <math> \ E / F </math> [[הרחבת גלואה]]. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את [[המשפט היסודי של תורת גלואה]].
*[[למה של ארטין|הלמה של ארטין]]: יהי <math>\ E</math> שדה, ו-<math> \ G \le \operatorname{Aut}\left(E\right)</math> [[תת-חבורה]] של [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math> \ E</math>. אזי אם <math>\ E^G = F</math> מתקיים <math>|G| \le \left[E:F\right]</math>. מתקיים אפילו <math>G = \operatorname{G}\left(E/F\right)</math>
==קישורים חיצוניים==
| |||